Biorhythms

题目：（POJ—1006）

Description

人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为23天、28天和33天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。例如：给定时间为10，下次出现三个高峰同天的时间是12，则输出2（注意这里不是3）。

Input

输入四个整数：p, e, i和d。 p, e, i分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于p, e, 或 i。 所有给定时间是非负的并且小于365, 所求的时间小于21252。 

当p = e = i = d = -1时，输入数据结束。

Output

从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。 

采用以下格式： 
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days. 

注意：即使结果是1天，也使用复数形式“days”。

Sample Input

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

Sample Output

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.


分析：

如要讨论中国利余定理，同余（congruence）的概念可算是必须。

给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说，a≡b(mod n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整数，所以，13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。 
但同余并不只是一个代号，而是有很方便和有趣的特性。（一）整数加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod n)；（二）整数乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod n)，而a，b，c，n都是整数。但如果ac≡bc(mod n)，则不一定a≡b(mod n)。 
以「鬼谷算」为例，假设x是那个未知数，而除3，5，7后的余数分别为r1，r2，r3。因此有
x≡r1(mod 3) 
x≡r2(mod 5) 
x≡r3(mod 7) 
而另一方面
70＝(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7) 
21＝(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7) 
15＝(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5) 
由同余的特性，我们有
70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7) 
21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7) 
15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7) 
因此亦有 
70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3) 
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5) 
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7) 

所以

x≡70r1+21r2+15r3+3m

x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p
 最后得到这个精彩的结果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105)，而105正便是3，5，7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的，要找到最小值才要减105。

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法：

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加，例如：
假设满足条件的数为：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1：除以3余1，我们看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，选择b=2就满足
再满足条件2：除以5余2，考虑第三部分就行了，选择c=2就满足
最后满足条件3：除以7余3，考虑第一部分就行了，选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍数大，减去公倍数，157-105=52是满足条件最小数

以我个人理解写成下面这个形式（以3个数为例）

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为：

X%a = r1          x%b = r2          x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int r1,r2,r3,r;
void solve()
{
    int i;
    for (i=1,r1=28*33;;i++)
        if (r1*i%23==1)
        break;
    r1*=i;
     for (i=1,r2=23*33;;i++)
        if (r2*i%28==1)
          break;
    r2*=i;
     for (i=1,r3=23*28;;i++)
        if (r3*i%33==1)
        break;
    r3*=i;
    r=23*28*33;
}
int main()
{
    int p,e,i,d;
    int Case=1;
    int sum;
    while (cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if (p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1)
            break;
            solve();
        sum=(r1*p+r2*e+r3*i-d)%r;
        sum=(sum+r-1)%r+1;
        cout << "Case " << Case++ << ": the next triple peak occurs in " << sum << " days." << endl;
    }
    return 0;
}