几个一？

一、题目

  给定一个十进制的正整数，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现“1”的个数。 要求： 写一个函数 f(N) ，返回1 到 N 之间出现的 “1”的个数。例如 f(12) = 5。 在32位整数范围内，满足条件的“f(N) =N”的最大的N是多少。

二、设计思路

  思路来自于张欢龙的启发，就是将一个整数拆分，一位一位地求出“1”的个数，如451就是：

  45*1+1*1

+4*10+1*10

+0*100+1*100。

  先考虑个位，个位上数字0~9，总共出现过45个0~9，一个0~9有一个1，所以位45*1，而45个0~9外还有一个0~1，这时要再加上一个1；接着十位，每100个数里面均有*10到*19这10个出现1的数，所以十位也是0~9，但这里面的1要乘以10，4个0~9还多余一个0~5，所以也要加1，且乘以10；以此类推......

  如果某一位上是1，是不是情况就不一样了？如111,111情况如下：

 11*1+0+1

+1*10+1+1

+0*100+11+1

...

+(m前面的十进制值*10^m+m后面的十进制值+1（后面的值全为0的情况）)

  就是当1出现时，这个多余的1的个数就为这一位后面的值。

  求f(N)=N的情况时，从2147483647开始向下逐一计算，时间过长，随便选了一个数即214748364，用前面的算法求出结果发现f(N)>N,所以正确的N一定比这个数小，所以从这开始计算。

三、源代码

//刘双渤，2015年6月3日
//输入一个整数，输出出现1的个数
#include <iostream>
using namespace std;

void main()
{
    long num,rem,t,S;          //输入值，余数,十的倍数,一的总数
    long numS;
    cout<<"请输入一个整数："<<endl;
    cin>>num;

    t = 1;
    S = 0;
    numS = num;
    while(numS != 0)
    {
        rem = numS % 10;
        numS = numS / 10;
        if(numS != 0)
        {
            S += numS * t;
        }
        
        if(rem > 1)
        {
            S += t;
        }
        else if(rem == 1)
        {
            S = S + num -numS * t* 10 - rem * t + 1;
        }
        t = t * 10;
    }
    cout<<"出现的“1”的个数为："<<endl;
    cout<<S<<endl;


    for(long i = 214748364;i >= -214748364;i--)
    {
        t = 1;
        S = 0;
        numS = i;
        while(numS != 0)
        {
            rem = numS % 10;
            numS = numS / 10;
            if(numS != 0)
            {
                S += numS * t;
            }
            if(rem > 1)
            {
                S += t;
            }
            else if(rem == 1)
            {
                S = S + i -numS * t* 10 - rem * t + 1;
            }
            t = t * 10;
        }
        if(S == i)
            break;
    }
    cout<<"满足条件的“f(N) =N”的最大的N是："<<S<<endl;
}

四、实验结果

  

五、实验总结

 刚看到这个题目时，感觉很简单，然后就开始一个个值去算，用归纳法找规律，可越写发现情况越复杂，有点难！课上有人展示思路，下课再想，就有慢慢清晰，简单了起来。方法很多，却很需要这灵光一点，才能通透。