算法学习————SG函数和SG定理

其实我自己也不是很明白吧，之前考过几次博弈但我都觉得太难没学SG

SG函数应用的场景

组合游戏

在竞赛中，组合游戏的题目一般有以下特点

1. 题目描述一般为A，B，2人做游戏

2. A，B交替进行某种游戏规定的操作，每操作一次，选手可以在有限的操作（操作必须合法）集合中任选一种。

3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的操作集合只取决于这个局面本身，不取决于其它因素（跟选手，以前的所有操作无关）

4. 如果当前选手无法进行合法的操作，则为负

必胜点和必败点的概念

必败点(P点) 前一个(previous player)选手将取胜的点称为必败点

必胜点(N点) 下一个(next player)选手将取胜的点称为必胜点

SG函数

先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3

对于任意状态x，定义SG(x) = mex(S),其中S是x后继状态的SG函数值的集合。如x有三个后继状态a，b，c的SG值分别为SG(a)，SG(b)，SG(c)，那么SG(x)=mex{SG(a)，SG(b)，SG(c)}。 这样当我没有后继状态的时候集合S的终态必然是空集，所以SG函数的终态为SG(x)=0，当且仅当x为必败点P时。

虽然我也不知道为什么要这么求，但是数学就是这么神奇呀

SG定理

游戏和的SG函数等于各子游戏的SG函数的Nim和。

公式说明：(SG(x_1,x_2,x_3dots x_n) = SG(x_1)igoplus SG(x_2)dotsigoplus SG(x_n))

应用

具体怎么应用呢？我可以递归求出一部分情况的SG值，然后瞪眼发现规律

例题：[SDOI2009]E&D

为了好好的总结，我应该是以后多会按照这个套路来写SG了

首先肯定是要先打表了，递归把所有他的后继情况求出来回溯的时候对于所有后继状态取mex

一个小tips：递归的时候数组可能会发生改变所以我这里vis定义在函数内，不过这要视写的代码而定

毕竟考场上没人告诉你对错，对着错误的表推结论，肯定是推不出来的，大家还是要谨慎一些

打表的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#define B cout<<"Breakpoint"<<endl;
#define O(x) cout<<#x<<" "<<x<<" "<<endl;
#define o(x) cout<<x<<" "<<x<<" ";
using namespace std;
int read(){
	int x = 1,a = 0;char ch = getchar();
	while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
	while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
	return x*a;
}
const int maxn = 1e5+10; 
int T;
map<pair<int,int>,int> mp;
int getSG1(int a,int b){
	bool vis[maxn];
	if (mp.count(make_pair(a,b))) return mp[make_pair(a,b)];
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for (int i = 1;i < a;i++) vis[getSG1(i,a-i)] = 1;
	for (int i = 1;i < b;i++) vis[getSG1(i,b-i)] = 1;
	for (int i = 0;i <= 10000;i++) if (!vis[i]){mp[make_pair(a,b)] = i;break;}
	return mp[make_pair(a,b)];
}
int a[maxn],ans[15][15];
int main(){
	for (int i = 1;i <= 20;i++){
		for (int j = 1;j <= 20;j++){
			ans[i][j] = getSG1(i,j);
		}
	}
	for (int i = 1;i <= 20;i++){
		for (int j = 1;j <= 20;j++) cout<<ans[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

然后这个表打出来应该是这个样子的：

我们不难发现以下几点：（因为我注意到网上题解都是说，不难发现规律，但是直接给了结论）

• 相同的数字连在一起的最小单位是个3个方格的三角形，我们就可以看成是两边（横纵坐标有且仅有一个为奇数）等于中间

• 0的位置横纵坐标都是奇数

• 由第一条我们可以想，能否解决中间的块，就能解决两边的块，这个我觉得会稍微难一点

对于中间块(x,y)的SG值，他等于(x/2,y/2)的SG值+1，也就是说每个对角线上2的幂的位置是递增的

因为我会除以2，所以这个复杂度是一个log的，我们可以求出每一组石子的SG值，然后看异或起来是否等于0就能解决此题了

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#define B cout<<"Breakpoint"<<endl;
#define O(x) cout<<#x<<" "<<x<<" "<<endl;
#define o(x) cout<<x<<" "<<x<<" ";
using namespace std;
int read(){
	int x = 1,a = 0;char ch = getchar();
	while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
	while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
	return x*a;
}
int getSG(int x,int y){
	if (x&1 && y&1) return 0;
	if (x&1) return getSG(x+1,y);
	if (y&1) return getSG(x,y+1);
	return getSG(x >> 1,y >> 1)+1;
}
int T,n;
int main(){
	T = read();
	while (T--){
		n = read();
		int ans = 0;
		for (int i = 1;i <= (n >> 1);i++){
			int x = read(),y = read();
			ans ^= getSG(x,y);
		}
		if (ans == 0) printf("NO
");
		else printf("YES
");
	} 
	return 0;
}