7.16复习笔记

今天就不算是复习笔记了吧，因为也没有具体的讲解，不过对于这些我确实没什么想说的

因为下午调题调的比较嗨，所以就把一些比较简单的都放到了今天统一写了一下

一、AC自动机

一些经典的问题：

1. 求各个模式串在文本串中出现了几次：

   方法： 在AC自动机上先跑一边文本串，记录一下每个点被经过的次数，那么单词被经过的次数就是他的结尾在fail树中的子树的权值和

2. 找是否有一个匹配不上匹配串的环：

   方法： 把所有能匹配上匹配串的节点匹配记录下来，dfs从跟开始走所有我可以走的点，如果我走到了一个之前走过的点就说明出环了

   实现： 一边调用fail一边更新当前点是否能走，因为fail记录的是前缀等于后缀，后缀深度一定比前缀大，所以fail一定在之前就走过了

3. 求(n)个串总共出现(m)次的最短长度

   方法： 求两两单词结尾之间的最短距离，初始矩阵(a_{i,j})表示结尾(i)和结尾(j)之间不经过其他结尾的最短距离，矩阵快速幂(m-1)次

   更新成(a_{i,j})表示结尾(i)到结尾(j)之间经过其他(m-2)个结尾的最小距离，现在总共经过了(m)个单词结尾，再加上第一个单词的长度，就是最短长度，一共(nm)种情况取最小的一种

4. 每次删掉文本串中的最早出现的模式串，剩下的字符继续拼在一起

   方法： 跑AC自动机，模拟栈，发现匹配到一个单词，把属于这个单词的字符全部弹出，继续从之前匹配的位置继续往下找

int tot = 1;
void getTrie(char s){
	int root = 1,len = strlen(s+1);
	for (int i = 1;i <= len;i++){
		int nxt = s[i]-'a';
		if (!ch[root][i]) ch[root][i] = ++tot;
		root = ch[root][i];
	}
}
void getFail(){
	queue<int> q;q.push(1);
	for (int i = 0;i < 26;i+++) ch[0][i] = 1;
	while (!q.empty()){
		int root = q.front();q.pop();
		for (int i = 0;i < 26;i++){
			if (!ch[root][i]) ch[root][i] = ch[fail[root]][i];
			else{
				fail[ch[root][i]] = ch[fail[root]][i];
				q.push(ch[root][i]);
			}
		}
	}
}

二、tarjan 2-SAT

注意我连边的时候一定是xxx时一定yyy的时候，让xxx向yyy连边

tajan染色后方案为编号小的那一个

void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++cnt;
	st[++top] = x;
	for (int i = head[x];i;i = ed[i].nxt){
		int to = ed[i].to;
		if (!dfn[to]){
			tarjan(to);
			low[x] = min(low[x],low[to]);
		}
		else if (!col[to]) low[x] = min(low[x],dfn[to]);
	}
	if (dfn[x] == low[x]){
		int y;++color;
		while (y = st[top--]){
			col[y] = color;
			if (x == y) break;
		}
	}
}

割点 ：在一个无向图中，如果删除某个顶点，这个图就不再连通（任意两点之间无法相互到达），那么这个顶点就是这个图的割点。

割边（桥）：在一个无向图中删除某条边后，图不再连通，那么这条边就是这个图的割边（也叫作桥）

求法：

• 割点: 一个顶点(x)是割点，当且仅当满足：

1. (x)为树根，且(x)有多于一个子树。

2. (x)不为树根，且满足(x)为(to)在搜索树中的父亲,并使得(low_{to}le dfn_x).（因为删去(x)后(to)以及(to)的子树不能到达(x)的其他子树以及祖先）

code:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int read(){
	int x = 1,a = 0;char ch = getchar();
	while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
	while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
	return x*a; 
}
const int maxn = 1e5+10;
int n,m;
struct node{
	int to,next;
}ed[maxn*2];
int head[maxn*2],tot;
void add(int u,int to){
	ed[++tot].to = to;
	ed[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}
int dfn[maxn],low[maxn],flag[maxn],cnt,child;
void tarjan(int x,int fa){
	dfn[x] = low[x] = ++cnt;
	for (int i = head[x];i;i = ed[i].next){
		int to = ed[i].to;
		if (!dfn[to]){
			tarjan(to,fa);
			low[x] = min(low[x],low[to]);
			if (low[to] >= dfn[x]&&x != fa) flag[x] = 1;	
			if (x == fa) child++;
		}
		low[x] = min(low[x],dfn[to]);
	}
	if (child >= 2&&x == fa) flag[x] = 1;
}
int main(){
	n = read(),m = read();
	for (int i = 1;i <= m;i++){
		int x = read(),y = read();
		add(x,y),add(y,x);
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (!dfn[i]) child = 0,tarjan(i,i);
	}
	int tot = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (flag[i]) tot++;
	}
	printf("%d
",tot);
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (flag[i]) printf("%d ",i);
	}
	return 0;
} 

• 割边：

1. 一条无向边((x,to))是桥，满足(low_{to}>dfn_x).（因为(to)想要到达(x)的父亲必须经过((x,to))这条边，所以删去这条边图不连通）

2. 实现时因为是无向图，建反边两条边都要标记上，边从(1)开始编号，正向边(x)的反向边就是(x)^(1)

code:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int read(){
	int x = 1,a = 0;char ch = getchar();
	while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
	while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
	return x*a;
}
const int maxn = 3e6+10;
int n,m;
struct node{
	int to,next;
}ed[maxn*2];
int head[maxn*2],tot = 1;
void add(int u,int to){
	ed[++tot].to = to;
	ed[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}
int dfn[maxn],low[maxn],cnt,res;
int bridge[maxn];
void tarjan(int x, int fa) {
    dfn[x] = low[x] = ++cnt;
    for (int i = head[x];i;i = ed[i].next) {
        int to = ed[i].to;
        if (!dfn[to]) {
            tarjan(to, i);
            low[x] = min(low[x],low[to]);
            if (low[to] > dfn[x])
                bridge[i] = bridge[i^1] = true;
        }
        else if (i != (fa^1)) low[x] = min(low[x],dfn[to]);
    }
}
int main(){
	n = read(),m = read();
	for (int i = 1;i <= m;i++){
		int u = read(),v = read();
		add(u,v),add(v,u);
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (!dfn[i]) tarjan(i,0);
	}
	int res = 0;
    for (int i = 2; i < tot; i+=2)
        if (bridge[i]) res++;
	printf("%d
",res);
	return 0;
}

三、manacher

因为今天没有把NOI2020做完，所以把之后几天的复习计划提前了，毕竟计划做完了才能心安理得

解决回文串问题，其实不难发现在解决字符串问题的时候，我们通常都想要充分的利用之前处理过的信息

void manacher(){
	for (int i = 1,r = 0,mid = 0;i <= cnt;i++){
		if (i <= r) f[i] = min(f[(mid << 1)-i],r-i+1);
		while (a[i-f[i]] == a[i+f[i]]) f[i]++;
		if (f[i]+i > r) r = f[i]+i-1,mid = i;
	}
}

四、Nim博弈SG函数

我觉得我之前写的博客就已经很详细啦，因为不涉及什么算法，就是打表找规律，这里就不总结了

五、欧拉函数

求不超过n且与n互质的正整数的个数

void Euler(){
	for (int i = 2;i < n;i++){
		if (!E[i]){
			for (int j = i;j < n;j += i){
				if (!E[j]) E[j] = j;
				E[j] = E[j]/i*(i-1); 
			}
		}
	}
}

六、线性基

往线性基里插入一个数

void add(int x){
	for (int i = 30;i >= 0;i--){
		if (x&(1 << i)){
			if (d[i]) x ^= d[i];
			else{
				d[i] =  x;
				break;
			}
		}
	}
}

查询最大异或和

int getmax(){
	int res = 0;
	for (int i = 30;i >= 0;i--){
		if (res^d[i] > d[i]) res ^= d[i];
	}
	return res;
}

查询k大异或和

void init(){
	for (int i = 1;i <= 30;i++){
		for (int j = 1;j <= i;j++){
			if (d[i]&(1 << (j-1))) d[i] ^= d[j-1];
		}
	}
}
int kth(int k){
	if (k == 1&&tot < n) return 0;
	if (tot < n) k--;
	if (pow(2,tot) <= k) retun -1;
	init();
	int ans = 0;
	for (int i = 0;i <= 30;i++){
		if (d[i]){
			if (k&1) ans ^= d[i];
			k >>= 1;
		}
	}
	return ans;
}