一维差分和二维差分

1、什么是一维差分？

一维差分是一维前缀和的逆运算,举个栗子：

原数组与差分数组的关系：原数组前后两项的差就是差分数组的值：(b[i]=a[i]-a[i-1])
对于第1个差分数组的值，(b[1]=a[1]-a[0]),因为(a[0])初始化为(0),所以(b[1]=a[1]),但也不妨碍我们按通用的方式进行理解。

差分数组与原数组的关系:差分数组的前缀和是原数组:(a[i]=b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i])

2、一维差分的构建

void insert(int l,int r,int c){
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

上面就是构建的方法，我们来理解一下：
以(a_1=9,a_2=3,a_3=5,a_4=4,a_5=2)这个原始数组为例，根据上面的计算办法构建差分数组：

第一步：insert(1,1,9),就是l=1,r=1,c=9,那么b[1]=9,b[2]=-9。
第二步：insert(2,2,3),就是l=2,r=2,c=3,那么b[2]=-9+3=-6,b[3]=0-3=-3。
第三步：insert(3,3,5),就是l=3,r=3,c=5,那么b[3]=-3+5=2,b[4]=0-5=-5。
第四步：insert(4,4,4),就是l=4,r=4,c=4,那么b[4]=-5+4=-1,b[2]=0-4=-4。
第五步：insert(5,5,2),就是l=5,r=5,c=2,那么b[5]=-4+2=-2,b[2]=0-2=-2。

3、一维差分用途

当我们要在某个区间([l,r])的所有值都加上一个数(x)时：我们只需要在差分数组中进行一加一减即可：(b[l]+c，b[r+1]−c)

为什么呢？
以(a[1]=9,a[2]=3,a[3]=5,a[4]=4,a[5]=2)这个原始数组为例,现在要地(a_2至a_4)这个范围内增加(2):
(a[1]=b[1])
(a[2]=b[1]+b[2])
(a[3]=b[1]+b[2]+b[3])
(a[4]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4])
(a[5]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5])
(a[6]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]+b[6])

现在要在(a_2至a_4)增加数字2，我们看看能不能通过增大(b)数组某两个值的方法对它们进行维护。
比如(b[2]+=2),那么受影响的是(a[2])及后面所有的(a)数组元素，包括(a[5],a[6]),这样还不行，因为我们只要求变化到(a[4]),看来还需要再做点什么，比如从(b[5])中再减去数字2，这时我们惊喜的发现，从 (a[5])开始，加2带来的负作用解除了！

3、差分数组与原数组一样长吗？为什么我看到了 b[r+1]=c,这样差分不就多了一个元素吗？

不是一样长的，差分数组其实是比原数组多一个元素的，多的那个在数组的最后面。
当然，一般我们是不用到最后面的那个元素的，因为，差分的概念都是描述当前位置和前一个位置的差，前缀和就是原数组了，最后一个生成的元素可以视为无效元素，没有必要再纠结了。

4、C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c){
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),insert(i,i,a[i]);
    while(m--){
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]+=b[i-1],printf("%d ",b[i]);
    
    return 0;
}

5、二维差分概念

差分是前缀和的逆运算。就是如果有一个二维的数组b,那么b[1][1]+....+b[i][j],就是一个矩形范围，它的最终加法结果值应该就是a[i][j].就是原数组i,j的位置值。

6、二维差分有什么用？

和一维差分的用途基本一致，在一个二维矩阵中，有多块区间需要增加或减少一个数值，多次操作后求最终的矩阵内容。如果按照传统办法，就是二层循环，复杂度很高，如果预处理出一个二维的差分矩阵，以后的多轮操作都转为了4次加加减减操作，可以视为(O(1))级别的时间复杂度，运算效率将得到极大提高。

7、看一下实际的例子

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int a[N][N], b[N][N];

/**
测试用例:

原始数组
1   2   3   4
5   6   7   8
9   10  11  12
13  14  15  16

二维差分数组
1 1 1 1 
4 0 0 0  
4 0 0 0  
4 0 0 0 
 */
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = 1; j <= 4; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = 1; j <= 4; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    for (int i = 1; i <= 4; i++) {
        for (int j = 1; j <= 4; j++) {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}

8、二维差分公式推导

(① s[3][3] = b[1][1]+b[1][2]+b[1][3])
( + b[2][1]+b[2][2]+b[2][3])
( + b[3][1]+b[3][2]+b[3][3])

(② s[2][3] = b[1][1]+b[1][2]+b[1][3])
( + b[2][1]+b[2][2]+b[2][3])

(③ s[3][2] = b[1][1]+b[1][2])
( + b[2][1]+b[2][2])
( + b[3][1]+b[3][2])

(④ s[2][2] = b[1][1]+b[1][2])
( + b[2][1]+b[2][2])

(①-②-③+④)
(b[3][3]=s[3][3]-s[2][3]-s[3][2]+s[2][2])

抽象一下，就可以获取到从原矩阵获取差分矩阵的公式：
(b[i][j]=s[i][j]-s[i-1][j]-s[i][j-1]+s[i-1][j-1])

如何从差分矩阵得到原矩阵呢？可以参考下面公式(就是二维前缀和)
(s[i][j]=b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1])

9、二维差分如何构建？

如果我们要在左上角是 (x1,y1)，右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +c，如下图所示

在我们要的区间开始位置（x1,y1）处 +c，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 -c 消除 +c 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -c 的影响，所以绿色部分 +c 消除影响。所以对应的计算方法如下：

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;             //开始位置增加C
    b[x2 + 1][y1] -= c;         //见上面的图，把第二行的蓝色区域减去C
    b[x1][y2 + 1] -= c;         //见上面的图，把第一行的蓝色区域减去C
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;     //交叉位置被减了两次，需要补回来。
}

10、C++ 代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;

int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
    
    while(q--){
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)
            printf("%d ",b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}