AcWing 841. 字符串哈希

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一、算法思路

字符串哈希 (O(n)+O(m))

全称字符串前缀哈希法，把字符串变成一个(p)进制数字（哈希值），实现不同的字符串映射到不同的数字。并且，用(h[N])记录字符串前(N)个字符的(Hash)值，类似于前缀和。

作用就是把(O(N))的时间复杂度降为(O(1))。比如本题就是对比任意两段内字符串是不是相同，正常就是类似于一个循环长度次的(substr),其实用(hash)差就能一步搞定！

栗子：

str="ABCABCDEYXCACWING";
h[0]=0;
h[1]="A"的Hash值;
h[2]="AB"的Hash值;
h[3]="ABC"的Hash值;
h[4]="ABCA"的Hash值;

对形如(X_1X_2X_3...X_{n-1}X_n)的字符串，采用字符 (ASCII)码乘上(P)次方来计算哈希值。

映射公式：((X_1 imes P^{n-1} +X_2 imes P^{n-2}+...+X_{n-1} imes P^1 + X_n imes P^0) mod Q)

举个栗子：
字符串(ABCD)，(P=131)
那么(h[4]=65*131^3+66*131^2+67*131^1+68*131^0)

而(AB)，(P=131)
说是(h[2]=65*131^1+66*131^0)

我们想要求"(CD)"的(HASH)值，怎么求呢？
就是 (h[4]-h[2]*131^2)

注意点：

1. 任意字符不可以映射成(0)，否则会出现不同的字符串都映射成(0)的情况，比如(A),(AA),(AAA)皆为(0)

2. 冲突问题：通过巧妙设置(P)((131)或(13331)) ,(Q)((2^{64}))的值，一般可以理解为不产生冲突(玄学)。
   (Q=2^{64})这个取模动作在代码中没有出现过，这是因为采用了$unsinged long long $，它本身就是(2^{64}),如果超过了这个数字，就直接自动溢出，起到了取模的作用。

问题是比较不同区间的子串是否相同，就转化为对应的哈希值是否相同。

求一个字符串的哈希值就类似于构建一维前缀和，求一个字符串的子串哈希值就相当于一维前缀和应用:

构建： (h[i]=h[i-1] imes P+s[i-1] i∈[1,n]) (h)为前缀和数组，(s[i-1])为字符串数组此位置字符对应的(ASCII)码。

应用： 查询(l,r)之间部分字符串的(hash=h[r]−h[l−1]×P^{r−l+1})

二、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 100010; //数组上限范围
const int P = 131;    //经验,P进制
int n, m;
string str;     //字符串
ULL h[N], p[N]; //h表示某一个前缀的HASH值,h[R]表示的是前R个字母的HASH值,p代表p进制，目前是131进制

//计算部分字符串的HASH值
ULL get(int l, int r) {
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

int main() {
    //读入优化
    ios::sync_with_stdio(false);
    //计算字符串前缀的HASH值
    cin >> n >> m >> str;

    p[0] = 1; //初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //预处理乘方
        p[i] = p[i - 1] * P;//131,131*131,131*131*131.....
        //计算前i个字符的字符串前缀hash值
        h[i] = h[i - 1] * P + str[i - 1];
    }
    //然后根据公式计算两个区间的字符串HASH值是不是相同
    while (m--) {
        int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        if (get(l1, r1) == get(l2, r2))puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}