AcWing 854. Floyd求最短路

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一、理解和感悟

1. (Floyd)可以求多源最短路径，这是其它算法做不到的。
   

2. (Floyd)可以处理负权边，但不能处理负权回路。

3. 核心就是初始化+三重循环，注意顺序是(k-i-j)，不能反了！(Floyd)是有动态规划思想的算法。

二、算法思路

原始各点之间的距离

以(1)为中转点

以(1)，(2)为中转点

以(1)，(2)，(3)为中转点

以(1)，(2)，(3)，(4)为中转点

上面可以理解为以(1)为中转点时，有利用它获得更短路径的，可以理解为产生了一条虚拟的边，边长是经由结点(1)的最短距离。

上面的算法思路过程，是按一个个添加节点，每添加一个节点，需要将所有的结点通过双重循环更新一次最短距离，所以最外层循环是遍历每一个结点做为中转结点，内层两层循环为所有两个结点之间距离。
三层循环的含义要搞清楚，不能顺序反了。

三、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k;
int d[N][N];

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> k;

    //floyd初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (i == j) d[i][j] = 0;//自己与自己距离为零
            else d[i][j] = INF;     //所有结点间距离初始化为正无穷

    //读入数据
    while (m--) {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        d[a][b] = min(d[a][b], w);//保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
    }
    //调用floyd
    floyd();

    //处理所有询问
    while (k--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        if (d[a][b] > INF / 2) puts("impossible"); //由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
        else printf("%d
", d[a][b]);
    }
    return 0;
}