一、最小生成树
1、知识框架图
2、最小生成树概念
-
最小生成树一般是说的无向图,有向图的最小生成树一般不会用到。
-
连通图:在无向图中,若任意两个顶点(v_i)与(v_j)都有路径相通,则称该无向图为连通图。
-
连通网:在连通图中,若图的边具有一定的意义,每一条边都对应着一个数,称为权;权代表着连接连个顶点的代价,称这种连通图叫做连通网。
-
生成树:一个连通图的生成树是指一个连通子图,它含有图中全部(n)个顶点,但只有足以构成一棵树的(n-1)条边。一颗有(n)个顶点的生成树有且仅有(n-1)条边,如果生成树中再添加一条边,则必定成环。
-
最小生成树:在连通网的所有生成树中,所有边的代价和最小的生成树,称为最小生成树。 一个无向图可以有多个最小生成树,但最小生成树的边权和一定是最小的。
实际的场景:
比如(N)个城市,需要根据实际情况建高铁,我们知道这些城市之间有些是相通的,距离也知道,有些城市之间是不通的,也不打算建高铁。那么,我们如何能知道怎么建设高铁的路线使用城市之间全能连通,并且路线和最小呢?因为这样才省钱,还能保证所有城市联通啊!
二、Prim算法
和(dijkstra)非常相似,(dijkstra)算法是计算到顶点的距离,而(Prim)算法是计算到集合的距离,下面详细讲解:
比如本题:稠密图,节点个数(500),边数(10^5),好多的边啊,所以需要定义(g[N][N]), $500*500=250000 > 10^5 $。
prim 算法采用的是一种贪心的策略,每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分,连通部分逐渐扩大,最后将整个图连通起来,并且边长之和最小。
算法步骤
- 把所有距离
dist[N]
初始化为INF。 - 用一个
pre
数组保存节点的是和谁连通的。pre[i] = k
表示节点i
和节点k
之间需要有一条边。初始时,pre
的各个元素置为-1
。 - 循环n次,将所有点准备加入到集合中。
(1).找出不在集合中的(!st[j]
)距离集合最近的点'dist[j]',如果是有多个距离一样近,那么选择号小的那个,命名为t
。
(2).累加最小权值
(3).利用t更新未加入集合中的其它各点到集合的最短距离。
(4).将t加入到集合中。
模拟流程
我们将图中各个节点用数字 (1 sim n) 编号。
-
要将所有景点连通起来,并且边长之和最小,步骤如下:
用一个 (st) 数组表示节点是否已经连通。(st[i]) 为真,表示已经连通,(st[i]) 为假,表示还没有连通。初始时,(st) 各个元素为假。即所有点还没有连通。
用一个 (dist) 数组保存各个点到连通部分的最短距离,(dist[i]) 表示 (i) 节点到连通部分的最短距离。初始时,(dist) 数组的各个元素为无穷大。
用一个 (pre) 数组保存节点的是和谁连通的。(pre[i] = k) 表示节点 (i) 和节点 (k) 之间需要有一条边。初始时,(pre) 的各个元素置为 (-1)。
-
从 (1) 号节点开始扩充连通的部分,[之所以从一号结点开始,是因为大家都是距离集合正无穷,那么号小的优化!],所以 (1) 号节点与连通部分的最短距离为 (0),即(dist[i]) 值为 0。
-
遍历 (dist) 数组,找到一个还没有连通起来,但是距离连通部分最近的点,假设该节点的编号是 (t)。(t)节点就是下一个应该加入连通部分的节点,(st[t]) 置为 (true)。
用青色点表示还没有连通起来的点,红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 (dist[1]),因此 (st[1]) 置为 (true)。
4.遍历所有与 (t) 相连但没有加入到连通部分的点 (j),如果 (j) 距离连通部分的距离大于 (t sim j) 之间的距离,即 (dist[j] > g[t][j])((g[t][j]) 为 (t sim j) 节点之间的距离),则更新 (dist[j]) 为 (g[t][j])。这时候表示,(j) 到连通部分的最短方式是和 (t) 相连,因此,更新(pre[j] = t)。
与节点 (1) 相连的有 (2), (3), (4) 号节点。(1->2) 的距离为 (100),小于 (dist[2]),(dist[2]) 更新为 (100),(pre[2]) 更新为(1)。(1->4) 的距离为 (140),小于 (dist[4]),$dist[4] $更新为 (140),(pre[4]) 更新为(1)。(1->3) 的距离为 (150),小于 (dist[3]),(dist[3]) 更新为 (150),(pre[3]) 更新为(1)。
- 重复 (3), (4)步骤,直到所有节点的状态都被置为 (1).
这里青色点中距离最小的是 (dist[2]),因此 (st[2]) 置为 (1)。
与节点 (2) 相连的有 (5), (4)号节点。(2->5) 的距离为 (80),小于 (dist[5]),(dist[5]) 更新为 (80),(pre[5]) 更新为 (2)。(2->4) 的距离为 (80),小于 (dist[4]),(dist[4]) 更新为 (80),(pre[4]) 更新为(2)。
选(dist[4]),更新(dist[3]),(dist[5]),(pre[3]),(pre[5])。
选(dist[5]),没有可更新的。
选(dist[3]),没有可更新的。
6.此时 (dist) 数组中保存了各个节点需要修的路长,加起来就是。(pre) 数组中保存了需要选择的边。
经验总结
- 最小生成树并不唯一,但它的边权最小值是唯一的。所以,一般没有要求求出最小生成树长成什么样子,而是要求输出最小生成树的边权最小值。
- 因为(Prim)算法需要反复的求每两个点之间的距离,这就决定了邻接矩阵更合适,因为相对于邻接表,邻接矩阵可以快速提供两个点之间的距离,而邻接表是链表,想要获取两个点之间的距离就没那么方便。
- 边数较少可以用(Kruskal),因为(Kruskal)算法每次查找最短的边。 边数较多可以用(Prim),因为它是每次加一个顶点,对边数多的适用。
- 堆优化的(Prim)算法一般不用。
- 图论的题一般难就难在建图上,考虑算法原理的并不多啊,所以理解并背下来算法模板的思路就非常重要了,主要是用自然语言复述,不要死记硬背模板代码,那样容易忘,也记不住。
三、朴素版Prim算法代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; //稠密图,邻接矩阵
int dist[N]; //这个点到集合的距离
bool st[N]; //是不是已经使用过
int res; //最小生成树里面边的长度之和
/**
* 功能:普利姆算法求最小生成树
* @return
*/
int prim() {
//迭代n次
for (int i = 0; i < n; i++) {
//1、找到集合外,距离集合最近的点
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j;
/*如果不是第一个点,并且距离是INF,说明现在没有点可以连通到生成树,
这时不是连通图,没有最小生成树,返回INF*/
if (i && dist[t] == INF) return INF;
/*是第一个结点,dist[1]应该是0,现在初始化的是INF,所有这里特判一下。
不是第一个点,结果加上这条边的权值。*/
if (i)res += dist[t];
//2、因为本轮选择的是结点t,那么用t更新其它未加入到集合中点到集合的距离
for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
//3、把t放到集合中
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
//读入优化
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
//所有点之间的距离初始化为正无穷,然后再读入所有边
memset(g, 0x3f, sizeof g);
//距离初始化无穷大,表示所有结点都在生成树之外
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
//读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
//允许重复,构建双向有向成为无向图,同时保留最小的
}
int t = prim();//普利姆算法
//输出结果
if (t == INF) puts("impossible");
//不存在生成树,比如所有点不连通的情况下
else printf("%d
", t); //否则输出t
return 0;
}
四、带路径输出的Prim算法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; //稠密图,邻接矩阵
int dist[N]; //这个点到集合的距离
bool st[N]; //是不是已经使用过
int res; //最小生成树里面边的长度之和
int pre[N]; //前驱结点
/**
* 功能:普利姆算法求最小生成树
* @return
*/
int prim() {
//迭代n次
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i)res += dist[t];
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j]) {
if (g[t][j] < dist[j]) {
dist[j] = g[t][j];
pre[j] = t;
}
}
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
//读入优化
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
memset(pre, -1, sizeof pre);
//读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF) puts("impossible");
else printf("%d
", t);
//输出前驱结点
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", pre[i]);
return 0;
}