AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

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一、Kruskal算法

1、基本思路：

（1） 将所有边按权重从小到大排序

（2） 枚举每条边 (a sim b) ,权重是(c)

    if a,b不在一个集合中 ：
        将这条边加入集合中
    结束  

2、与(prim)算法的区别

• 克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，普利姆算法是以点为主导的地位的。
• (prim)算法适合稠密图，(kruskal)算法适合稀疏图。理由也挺简单的，(kruskal)是按边存的，边少就合适，边多就不适合。稀疏图当然边少，稠密图是点少，但边多，边可能达到节点数的平方，即每个节点都与其它节点有边。

3、算法模拟

假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：

根据(kruskal)的原理，我们需要对边权(dis)进行排序，每次找出最小的边。
排序后，最小的边自然是第(8)条边，于是(4)和(6)相连。

遍历继续，第二小的边是$1$号，$1$和$2$联通。 再后来是边$3$连接$1$,$4$。 $dis$也是$14$的还有边$5$，它连接$3$,$4$。

其次是(dis)为(15)的边(4)，但是(2)和(4)已经相连了，(pass)。

然后是(dis)为(16)的两条边（边(2)和边(9)），边(2)连接(1)和(3)，边(9)连接(3)和(6)，它们都已经间接相连，(pass)。

再然后就是(dis)为(22)的边(10)，它连接(5)和(6)，(5)还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了(n-1)条边，结束，最后图示如下：

本题与 https://www.acwing.com/problem/content/839/ 是姊妹题，其实(Kruskal)算法就是一个并查集的应用。

不像(Prim)算法，不用考虑边界，考虑循环(N)次啊，计算最小值啊，还要用堆进行优化啊，这个就是一个并查集，思路简单。

4、需要回答的问题

Q:只需要简单结构体即可,不需要邻接表或者邻接矩阵来存，为什么呢？

A:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的，记录(A)点和(B)点的关系。用结构体存储，其实是按边存的，就是题目说有一条(A-B)的边（权为(C)），我们就存了一个(A-B)权为(C)的边。
按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。

二、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];
int res;
int cnt;

//只需要简单结构体即可,不需要链表
struct Edge {
    int a, b, w;
    // 需要重载<号，利用w进行排序
    bool operator<(const Edge &W) const {
        return w < W.w;
    }
} edges[N << 1];

//并查集模板
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal() {
    // 0、初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    //1、按边的权重排序
    sort(edges + 1, edges + 1 + m);

    //2、从小到大枚举每一条边[有些边是要放弃滴]
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
        //找家族族长
        a = find(a), b = find(b);
        //如果两个节点不在一个集合中
        if (a != b) {
            p[a] = b;   //a认b为祖宗,合并两个集合
            res += w;   //最小生成树中所有树边的权重之和
            cnt++;      //加入了多少条边
        }
    }
    //如果加入的边数小于n-1，说明不连通
    if (cnt < n - 1) return INF;
    //返回所有树边的长度之和
    return res;
}


int main() {
    //读入优化
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    //调用克鲁斯卡尔算法
    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d
", t);

    return 0;
}