AcWing 890. 能被整除的数

题目传送门

一、理论知识

韦恩图（又称文氏图）

（1）两个圆相交求面积

$large S=S_1+S_2-S_1cap S_2$

（2）三个圆相交求面积

$large S=S_1+S_2+S_3- S_1cap S_2 -S_2cap S_3 - S_1cap S_3 + S_1cap S_2 cap S_3$

（3）四个圆相交求面积

$large S=S_1+S_2 + S_3 + S_4 -S_1cap S_2 -S_1cap S_3 -S_1cap S_4 - S_2cap S_3 -S_2cap S_4 -S_3cap S_4 + S_1cap S_2 cap S_3 + S_1cap S_2 cap S_4+ S_2cap S_3 cap S_4 ++ S_1cap S_3 cap S_4 - S_1 cap S_2 cap S_3 cap S_4$

上面，我们是用面积来考虑的问题，所以等式左边写的是(S)，也可以用集合来考虑，以(3)个圆为例，那就是
(|S_1 cup S_2 cup S_3| =|S_1|+|S_2|+|S_3|- |S_1cap S_2| -|S_2cap S_3| - |S_1cap S_3| + |S_1cap S_2 cap S_3|)

其中(||)代表集合中的元素个数。

（4）规律总结

上面的求解过程，其实是在求 (C_n^1 - C_n^2+ ... + {(-1)}^{n-1}C_n^n)，
也就理解为从(n)个选择1个，减去从(n)中选择(2)个，加上从(n)中选择(3)个，减去从(n)中减去(4)个...,也可以记为奇数个元素的集合是加，偶数个的（指相交）的集合是减。

（5）经典例题

容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目，有(20)人喜欢数学，(10)人喜欢语文，(11)人喜欢英语，其中(3)人同时喜欢数学语文，(3)人同时喜欢语文英语，(4)人同时喜欢数学英语，(2)人都喜欢，问全班有多少人？

根据容斥原理，就是(large S=S_1+S_2+S_3- S_1cap S_2 -S_2cap S_3 - S_1cap S_3 + S_1cap S_2 cap S_3)

班级人数=(20+10+11-3-3-4+2)

二、算法思路

• 数学表达式
  比如三个质数是(2，3，5)，那么：(S_2)就代表(2)的倍数集合，(S_3)就代表(3)的倍数集合，(S_5)就代表(5)的倍数集合，至少能被其中一个质数整除的就是：
  (|S_2 cup S_3 cup S_5| = |S_2| + |S_3| +|S_5| -|S_2 cap S_3| -|S_3 cap S_5| -|S_2 cap S_5|+|S_2 cap S_3 cap S_5|)

• 如何计算(|S_p|)这样的表达式数值
  (|S_p|)就是计算小于等于(n)中能整除掉(p)的数字个数。它就是等于(lfloor frac{n}{p} floor),而(C++)在整数运算除法时，默认就是下取整，这点就不用再特意处理了。

• 如何计算(|S_2 cap S_3|)这样的的表达式值
  题目给定的(p_i)都是质数，所以能被(2)整除，也能被(3)整除的数，肯定是能被(6)整除的数，所以就是 (|S_6|=|S_2 cap S_3|),这样，问题就转化成了问题(|S_p|)，也就会求解了！

• 怎么把这些子项目都罗列出来
  其实罗列的是(p[i])的所有组合方式！举个栗子： ({2},{3},{5},{2,3},{3,5},{2,5},{2,3,5})共(7)种,也就是(2^3-1=7)种。
  这个是常用的小技巧了，二进制模拟
  

三、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int p[N];   //质数数组
int n;      //整数n,表示1~n之间的整数
int m;      //m个不同的质数
int res;    //结果

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;

    //读入m个质数
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> p[i];
    //二进制来模拟m个数字的 2^m种选法，注意，不能全不选，所以i=1开始
    //举个栗子，比如  2，3，5共3个数字，就是 001~111共7种选法
    for (int i = 1; i < 1 << m; i++) {
        int t = 1;                      //t代表当前选法中,选中质数的乘积,初始值是1
        int cnt = 0;                    //cnt当前选法里面包含几个1,奇数个1是+，偶数个1是-,所以需要记录
        bool flag = true;               //本轮结果是否有效
        for (int j = 0; j < m; j++)     //遍历二进制的每一位
            if (i >> j & 1) {           //判断j位二进制是不是1
                //如果质数乘积大于n了，就不用再继续算了
                if ((LL) t * p[j] > n) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                t *= p[j]; //质数相乘
                cnt++;
            }

        //容斥原理公式
        if (flag) {
            if (cnt % 2) res += n / t;  //奇数项加,C++的整数除法默认是下取整,不用再关心取整问题
            else res -= n / t;          //偶数项减
        }
    }
    //输出答案
    printf("%d", res);
    return 0;
}