AcWing 893. 集合-Nim游戏

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一、理论知识

• (mex)函数定义

  对于集合(S),(mex(S)=mex({x1,x2…}))表示(S)中没有出现的最小非负整数。

  例如:(S={0,1,2,4}),那么(Mex(S)=3)。

• (sg)函数定义
  (sg(n)=mex({sg(i_1),sg(i_2),sg(i_3)...}))。 (n)为结点；(i_1,i_2,i_3)…是(n)的后继结点。

• 规定
  (sg(G)=sg(head))。 (G)是一个有向图,(head)是(G)的头结点。

• 结论
  (sg(G1)) ^ (sg(G2)) ^ (sg(G3)) ^ (…) ^ (sg(Gn))为(n)个有向图的异或和,对于(n)个有向图游戏,这个异或和就是它的答案。

二、实例解析

(SG)函数是解决博弈论问题的一把利器。

三、(SG)函数复用的原因

四、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
const int M = 10010;

int n, k;
int s[N]; //一共几种取法，比如一次取2个或5个。
int f[M]; //SG函数的值
int res;

//记忆化搜索来做,保证每个状态只被算一次
int sg(int x) {
    //记忆化搜索
    if (f[x] != -1) return f[x];

    //当前状态下，可以到的所有状态
    unordered_set<int> S;

    //遍历每一个可能的数字
    for (int i = 0; i < k; i++)
        if (x >= s[i]) S.insert(sg(x - s[i]));

    //找出集合中不存在的这个自然数
    for (int i = 0;; i++)
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);

    //初始化数组值为-1
    memset(f, -1, sizeof f);

    cin >> k; //表示数字集合 S 中数字的个数
    for (int i = 0; i < k; i++) cin >> s[i];

    cin >> n;//一共几堆

    //n堆石子，每堆石子都取SG值，然后异或在一起
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x; //每堆里多少个
        res ^= sg(x);
    }
    if (res) puts("Yes");   //如果不是零，必胜
    else puts("No");        //如果是零，必败

    return 0;
}