AcWing 12. 背包问题求具体方案

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题目要求输出字典序最小的解，假设存在一个包含第\(1\)个物品的最优解，为了确保字典序最小那么我们必然要选第一个。

那么问题就转化成从\(2\)～\(N\)这些物品中找到最优解。

之前的\(f(i,j)\)记录的都是前\(i\)个物品总容量为\(j\)的最优解，现在将\(f(i,j)\)定义为从第\(i\)个元素到最后一个元素总容量为\(j\)的最优解。接下来考虑状态转移：

\(f(i,j)=max(f(i+1,j),f(i+1,j−v[i])+w[i])\)

两种情况:
第一种是不选第\(i\)个物品，那么最优解等同于从第\(i+1\)个物品到最后一个元素总容量为\(j\)的最优解；

第二种是选了第\(i\)个物品，那么最优解等于当前物品的价值\(w[i]\)加上从第\(i+1\)个物品到最后一个元素总容量为\(j−v[i]\)的最优解。

计算完状态表示后，考虑如何的到最小字典序的解。首先\(f(1,m)\)肯定是最大价值，那么我们便开始考虑能否选取第\(1\)个物品呢。

如果\(f(1,m)=f(2,m−v[1])+w[1]\)，说明选取了第\(1\)个物品可以得到最优解。

如果\(f(1,m)=f(2,m)\)，说明不选取第一个物品才能得到最优解。

如果\(f(1,m)=f(2,m)=f(2,m−v[1])+w[1]\)，说明选不选都可以得到最优解，但是为了考虑字典序最小，我们也需要选取该物品。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
//01 背包求具体方案
const int N = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];
int path[N], cnt;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    //题目要求输出字典序最小的解，倒着进行
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    //f[1][m]是最大值
    for (int i = 1, j = m; i <= n; i++)
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i]) {
            path[cnt++] = i;
            j -= v[i];
        }
    for (int i = 0; i < cnt; i++) cout << path[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}