一、贪心（微扰）
贪心+DP
集合角度思考：
求某个集合的最优解，求所有不同的吃法的最优解。这里的不同有两个维度，\(①\)选择吃哪些能量石；\(②\)按什么样的顺序吃。
本身是两维变化，不好做，哪些，顺序都需要关注，所以从题目中挖掘了一些性质，通过贪心简化，再去动态规划。
前置知识：
假定当前所选的能量石为\(k\)个，考虑怎样的排列是最优的。
对于任一排列\(a_1,a_2,a_3,…a_k\)
考虑任两项\(a_i,a_{i+1}\)
其交换后，不影响其他能量石的收益。
假定收集完第\(i−1\)块能量石时是第\(k\)秒，考虑交换前和交换后的收益：
交换前：
\(E_i−kL_i+E_{i+1}−(k+S_i)L_{i+1}=E_i+E_{i+1}−(kL_i+(k+S_i)L_{i+1})\)
交换后：
\(E_{i+1}−kL_{i+1}+E_i−(k+S_{i+1})L_i=E_i+E_{i+1}−(kL_{i+1}+(k+S_{i+1})L_i)\)
因此，我们只需要比较
\(kL_i+(k+S_i)L_{i+1},kL_{i+1}+(k+S_{i+1})L_i\) 的大小
且
\(kL_i+(k+S_i)L_{i+1}=k(L_i+L_{i+1})+S_iL_{i+1}\)
\(kL_{i+1}+(k+S_{i+1})L_i=k(L_i+L_{i+1})+S_{i+1}L_i\)
因此要比较的即
\(S_iL_{i+1},S_{i+1}L_i\)
交换前更优，即
\(S_iL_{i+1}≤S_{i+1}L_i\)
交换后更优，即：
\(S_iL_{i+1}≥S_{i+1}L_i\)
因此直接按\(S_iL_{i+1},S_{i+1}L_i\)排序即可。
因此，对于任一种组合我们是能唯一确定一种最大的排列的。
因此，直接在排序后做\(01\)背包即可。
二、01背包
背包问题有三种形态：至多/恰好/至少,本题是哪种呢？
因为在不同时刻吃所能吸收的能量是不同的，而且每块能量石从最开始就在损失能量。所以能量的价值和时间是相关的，如果剩余空间长大，未必就一定划算，这就说明剩余空间需要一个精确值，而不能表示一个范围，所以是恰好。
-
占用的空间：\(q[i].s\)
-
获得的价值:\(max(0, q[i].e - (j - q[i].s) * q[i].l)\) (\(j\)为当前花费时长)。
\(f[j]\) 表示当前恰好花\(j\)时间得到的最大能量。
- 状态转移方程：
\(f[j] = max(f[j], f[j - q[i].s] + max(0, q[i].e - (j - q[i].s) * q[i].l))\)
由于我们背包放物品（宝石）的顺序是坐标从\(1\)到\(n\)的，所以一定能枚举到最优解。
初始状态：\(f[0]=0\)，其余为负无穷(因为是求最大值)
答案：\(max(f[i])\)
二、二维朴素版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n;
struct Node {
int s; //吃掉这块能量石需要花费的时间为s秒
int e; //可以获利e个能量
int l; //不吃的话，每秒失去l个能量
} q[N]; //能量石的数组,其实这里开的数组开的特别大了，题目中说是110就够了。
//结构体对比函数
bool cmp(const Node &a, const Node &b) {
return a.s * b.l < b.s * a.l;
}
int f[N][M];
int idx; //输出是第几轮的测试数据
int main() {
int T;
cin >> T;
while (T--) {
cin >> n;
int m = 0;//总时长
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> q[i].s >> q[i].e >> q[i].l;
m += q[i].s;
}
//排序
sort(q + 1, q + 1 + n, cmp);
//二维01背包
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= m; j++) {//枚举每一个可能的总时长
//如果不要物品i
f[i][j] = f[i - 1][j];
//如果可以要物品i
if (j >= q[i].s) {
/*
q[i].e i物品带来的能量
j-q[i].s 在i物品讨论之前用的时长
q[i].l*(j-q[i].s) 在要物品i之前i物品已经消耗掉的能量
*/
int v = q[i].e - q[i].l * (j - q[i].s);
//如果要了物品i会带来价值上的提升
if (v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - q[i].s] + v);
}
}
//恰好，需要遍历每一个可能的体积，找出最后的最优解
int res = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) res = max(res, f[n][i]);
printf("Case #%d: %d\n", ++idx, res);
}
return 0;
}
三、一维简化版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110; //能量石个数上限
const int M = 10010; //能量上限
//用来描述每个能量石的结构体
struct Node {
int s; //吃掉这块能量石需要花费的时间为s秒
int e; //可以获利e个能量
int l; //不吃的话，每秒失去l个能量
} q[N]; //能量石的数组,其实这里开的数组开的特别大了，题目中说是110就够了。
//结构体对比函数
bool cmp(const Node &a, const Node &b) {
return a.s * b.l < b.s * a.l;
}
int n; //能量石的数量
int f[M]; //f[i]:花i个时间得到的最大能量
int idx; //输出是第几轮的测试数据
int main() {
//T组测试数据
int T;
cin >> T;
while (T--) {
//初始化为负无穷,预求最大，先设最小
memset(f, -0x3f, sizeof f);
cin >> n;
//总时长,背包容量
int m = 0;
//读入数据
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> q[i].s >> q[i].e >> q[i].l;
m += q[i].s;
}
//贪心排序
sort(q + 1, q + 1 + n, cmp);
//01背包,注意恰好装满时的状态转移方程的写法
//不能是至多j,而是恰好j
//这是因为如果时间越长，不见得获取的能量越多，因为能量石会损耗掉
//恰好的，最终需要在所有可能的位置去遍历一次找出最大值
f[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= q[i].s; j--) {
int v = q[i].e - (j - q[i].s) * q[i].l;
if (v) f[j] = max(f[j], f[j - q[i].s] + v);
}
//恰好装满，需要遍历一次dp数组找出最大值
int res = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) res = max(res, f[i]);
printf("Case #%d: %d\n", ++idx, res);
}
return 0;
}