AcWing 321. 棋盘分割

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一、题目描述

给定一个 \(8×8\) 的棋盘，棋盘的每个小方格都有一个权值 \(w_x,w_y\)

每次我们可以对棋盘进行一次横或竖切，将棋盘分成两块矩形的子棋盘

分割完一次后，我们可以选择两个子棋盘中的一个再继续递归操作。

可以发现题目中给的这个图片，右边这个并不是递归下去做的：他对第一次分割的两个矩形又分别进行了分割（题目要求我们只能保留一个继续分割）

现需要把棋盘按照上述分割方案，分成 \(n\) 块（\(n−1\) 次划分操作）

求一个划分方案，使得各子棋盘的 总分的均方差最小

二、试题解析

做高中数学题遇到方差的时候，一般需要化简

但本题不需要化简，也可以直接来做，但有的题目不化简不能做。

不难发现，递归操作会有很多冗余的重复计算，于是我们可以采用 记忆化搜索 进行优化

\(f[x_1,y_1,x_2,y_2,k]\) 表示这个区间在剩余\(k\)刀的情况下，可以获取到的计算公式最大值

关于如何枚举矩阵的分割
由于我们这里记录矩阵的状态是通过他的 对角顶点 记录的，因此分割是我们也可以通过枚举对角顶点完成分割

注意：这里的坐标是计算机中数组位置坐标，可不是数学中的坐标！！数据位置的坐标，描述的是一个方格子，数学坐标描述的是一个点！下面的推导如果按数学来理解就理解不了了！

如下图所示：

竖着切：

横着切：

三、记忆化搜索代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10;    //8*8个格子，我们从下标1开始放入，需要用到下标8，开9个。

int n;
int m = 8;
int s[N][N];             //二维前缀和
double f[N][N][N][N][N]; //DP结果数组
double X;                //平均值

//二维前缀和应用
int get_sum(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];
}

//均方差公式[就是模拟了一下题目给的公式]
double get(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    double sum = get_sum(x1, y1, x2, y2) - X;
    return sum * sum / n;
}

/**
 * 功能：记忆化搜索
 * @param x1 左上角x坐标
 * @param y1 左上角y坐标
 * @param x2 右下角x坐标
 * @param y2 右下角y坐标
 * @param k  剩余的刀数
 * @return  根据公式计算出的最小值
 */
double dfs(int x1, int y1, int x2, int y2, int k) {
    //用一个v来简写一下，要不太长了
    double &v = f[x1][y1][x2][y2][k];//这个引用方法很棒,get到了一个知识点
    if (v >= 0) return v;            //计算过了，就直接返回，不再重复计算
    if (k == 0) return v = get(x1, y1, x2, y2);//如果k=0,表示刀都用完了，最终这一块可以计算出来了
    //v:-1 表示没有计算过 v:INT_MAX 马上要进行计算，先设置最大
    v = INT_MAX;

    //每次枚举的是i和i + 1之间的分界线。
    //选择横着切,从x1行开始(这个是固定的)，到i行(需要枚举的)结束
    for (int i = x1; i < x2; i++) {
        //放弃上半部分，选择下半部分
        v = min(v, get(x1, y1, i, y2) + dfs(i + 1, y1, x2, y2, k - 1));
        //放弃下半部分，选择上半部分
        v = min(v, get(i + 1, y1, x2, y2) + dfs(x1, y1, i, y2, k - 1));
    }
    //选择纵着切
    for (int i = y1; i < y2; i++) {
        //放弃左半部分，选择右半部分
        v = min(v, get(x1, y1, x2, i) + dfs(x1, i + 1, x2, y2, k - 1));
        //放弃右半部分，选择左半部分
        v = min(v, get(x1, i + 1, x2, y2) + dfs(x1, y1, x2, i, k - 1));
    }
    //返回打擂台的最小值
    return v;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            //原数组不用保存，直接用一个二维前缀和数组s即可
            cin >> s[i][j];
            //二维前缀和构建
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    //利用二维前缀和的结果，计算出平均值，注意要使用double的类型转换，防止丢失精度
    X = (double) s[m][m] / n;

    //将DP数组初始化为负无穷，计算过的>=0 (因为均方差可能为0)，未计算过的为-INF
    //方便获取哪个位置是否计算过
    memset(f, -1, sizeof f);

    //记忆化搜索:因为最后需要切出n块矩形棋盘，其实就是需要切n-1刀，开始dfs模拟
    printf("%.3lf\n", sqrt(dfs(1, 1, 8, 8, n - 1)));
    return 0;
}

在枚举到的每个场景下，依然可以采用继续横切或竖切的方法，这样就做到了不遗漏任何一种场景，但会有大量的重复计算，采用记忆化可以解决重复计算的问题。