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  • 迪杰斯特拉算法

    迪杰斯特拉算法介绍

    迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
    它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。


    基本思想

         通过Dijkstra计算图G中的最短路径时,需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

         此外,引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

         初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后,从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后,再从U中找出路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作,直到遍历完所有顶点。


    操作步骤

    (1) 初始时,S只包含起点s;U包含除s外的其他顶点,且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如,U中顶点v的距离为(s,v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞]。

    (2) 从U中选出"距离最短的顶点k",并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。

    (3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

    (4) 重复步骤(2)和(3),直到遍历完所有顶点。

    单纯的看上面的理论可能比较难以理解,下面通过实例来对该算法进行说明。

    初始状态:S是已计算出最短路径的顶点集合,U是未计算除最短路径的顶点的集合!
    第1步:将顶点D加入到S中。
        此时,S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

    第2步:将顶点C加入到S中。
        上一步操作之后,U中顶点C到起点D的距离最短;因此,将C加入到S中,同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例,之前F到D的距离为∞;但是将C加入到S之后,F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
        此时,S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

    第3步:将顶点E加入到S中。
        上一步操作之后,U中顶点E到起点D的距离最短;因此,将E加入到S中,同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例,之前F到D的距离为9;但是将E加入到S之后,F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
        此时,S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

    第4步:将顶点F加入到S中。
        此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

    第5步:将顶点G加入到S中。
        此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

    第6步:将顶点B加入到S中。
        此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

    第7步:将顶点A加入到S中。
        此时,S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

    此时,起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了:A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)

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