洛谷 P4016 负载平衡问题
题目链接：洛谷 P4016 负载平衡问题
算法标签: 贪心、数学
题目
题目背景
G 公司有 n 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量不等。如何用最少搬运量可以使 n个仓库的库存数量相同。搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。
题目描述
文件的第 1 行中有 1 个正整数 n，表示有 n 个仓库。
第 2 行中有 n 个正整数，表示 n 个仓库的库存量。
输入格式
共两行。每行首先是一个整数，表示基因的长度；隔一个空格后是一个基因序列，序列中只含A,C,G,T四个字母。(1≤序列的长度le 100)。
输出格式
输出最少搬运量。
输入输出样例
输入 #1
5
17 9 14 16 4
输出 #1
11
题解：
这道题大致的思路是贪心+数学（虽然某谷标签是网络流24题），最主要在于推出结论，之后就可以知道如何求搬运量，而最小搬运量只需要看做某个点只向他左边的点搬运，它只接受右边的点搬运来的货物。
-
(overline{a[]}) 表示平均数，在题解中(overline {a[ ]} = ave = frac{a_1+a_2+a_3+…+a_n}{n})
-
(x[]_{0.5}) 表示中位数，在题解中(x[]_{0.5} = med = x[n / 2 + 1])
我们可以设(g_1, g_2,g_3,…,g_n) 为第1， 2， 3，…，n个人给他左边人的货物（(g_1)为第1个人给第n个人的货物），设(a_1,a_2,…,a_n) 为每个人现有的货物。所以可知：
(a_1 - g_1 + g_2 = ave) -> (g_2 = ave + g_1 - a_1)
所以：
$$ left{
egin{aligned}
g_2 &= ave + g_1 - a_1
g_3 &= ave + g_2 - a_2
… g_n&=ave + g_{n - 1} - a_n
end{aligned}
ight. $$
然而通过消元法之后可以得到：
(g_3=2ave+g_1-a_1-a_2)
由此，设$x_i=-i*ave +egin{equation} sum_{j=1}^{i-1}a_jend{equation} $
得到(x_i = x_{i-1}-ave+a_i) -> (g_n = g_1-x_{n-1})
推得最终式：
(ans=|g_1-0|+|g_1-x_1|+…+|g_1-x_{n-1}|)
又因为当(g_1)为(x[])的中位数时，ans取得最优解，那么单独求出med，在代入最终式即可。
AC代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010;
int n, a[N];
ll x[N], ans, sum;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
scanf("%d", &a[i]);
sum += a[i];
}
int ave = sum / n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
x[i] = x[i - 1] - a[i] + ave;
sort(x + 1, x + 1 + n);
int med = x[n / 2 + 1];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
ans += abs(med - x[i]);
printf("%lld", ans);
return 0;
}