CodeForces 453A Little Pony and Expected Maximum

题意: n面骰子掷m次,求最大值的期望.

别人的做法:最大值为i的概率=所有点数<=i的概率-所有点数<=i-1的概率,然后直接算.

sb做法:精度要求1e-4,而m较大时最大值是一个较小数的概率非常小,精度范围内不影响答案,所以直接dp,f[i][j]表示掷了i次之后最大值为j的概率,通过前缀和优化做到O(n)转移

方程为f[i][j]=(f[i-1][1]+f[i-1][2]+f[i-1][3]+….+f[i][j-1])*(1/n)+f[i-1][j]*(j/n)

因为点数越小概率越小所以不考虑较小的项.防止WA所以在不超时的前提下使用尽可能高的精度.

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
//#include<ctime>
const int maxn=100005;
double p[2][maxn];
double pre[maxn];
int n;
int m;
void init(int m){
  // double t1=clock();
  for(int i=1;i<=n;++i){
    p[0][i]=1.0/n;
  }
  int flag=1;
  int lim=0;
  for(int j=1;j<=m;++j){//if(j%1000==0)printf("%d
",j);
    double pre=0;
    for(int i=lim+1;i<=n;++i){
      pre+=p[flag^1][i-1];
      p[flag][i]=p[flag^1][i]*i/n+pre/n;
      if(p[flag][i]<1e-16)lim=i;
    }
    flag^=1;
  }
  //  double t2=clock();
}
double f(int m){
  double ans=0;
  for(int i=1;i<=n;++i){
    ans+=i*p[m][i];
  }
  return ans;
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  init(m);
  printf("%.5f
",min(f(0),f(1)));
  return 0;
}