多校 #5 hdu 5784 How Many Triangles

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5784

给定平面上互不相同的n个点，求所有锐角三角形的个数。3<=n<=2000

锐角三角形因为要三个角都是锐角，所以限制条件多。即使枚举一个点，另外两条边用极角排序，也只能维护一个锐角，剩下的两个角难于统计。

但是，如果换一种思路，统计所有直角、钝角以及三点共线的个数 ，问题就简单多了。因为因为只有一个直角或钝角或平角，只需依次对每个点，统计以它为哪一个特殊角的直角、钝角、平角三角形有多少即可。

具体做法是对点i，把所有其它点按极角排序。为保证每个不合法三角形（包括平角三角形）只被统计一次，直角、钝角三角形只在一条边时统计（以i为顶点的两条边，分别逆时针旋转直到碰到另一条边，转的角度小的那一条边。）所以维护k为从边 i-j 以 i 为顶点逆时针旋转小于等于180度的最后一个点，l 为边 i-j 逆时针旋转小于90度的最后一个点。这样l到k之间就都是不合法三角形了。因为k，i，j构成的可以使平角，为了避免平角被算两次，可以强制规定在两种中取某一种计算。

为了操作简便，我是把除了i的n-1个点极角排序后，又在后面复制了一遍，不过角度都加了360度。

这种题如果用double计算可能会出现精度问题，我选择除了极角排序用double外，所有角度的判断均使用long long的点积和叉积判断，绝对不会出现精度问题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const double pi = acos(-1.0);

struct point {
    long long x,y;
    point() {}
    point(long long xx, long long yy) {
        x = xx, y = yy;
    }
    point operator -(const point &p) const {
        return point(x - p.x, y - p.y);
    }
}a[2010];
struct sta {
    double theta; int id;
    sta() {}
    sta(double thetaa,int idd) {
        theta = thetaa, id = idd;
    }
    bool operator <(const sta &p2) const {
        return theta<p2.theta;
    }
}b[4010];

long long dot(const point &p1, const point &p2)
{
    return p1.x*p2.x + p1.y*p2.y;
}
long long det(const point &p1, const point &p2)
{
    return p1.x*p2.y - p1.y*p2.x;
}

int main()
{
    int i,j,k,l;
    long long ans,cnt,n;
    while(cin >> n)
    {
        
        for(i = 1; i<=n; i++)
            cin >> a[i].x >> a[i].y;
            
        ans = (long long)n*(n-1)*(n-2)/6;
        
        for(i = 1; i<=n; i++)
        {
            int tot = 0;
            cnt = 0;
            for(j = 1; j<=n; j++)
                if(j!=i) {
                    double theta;
                    if(a[j].x==a[i].x)
                        theta = (a[j].y>a[i].y? pi*0.5 : pi*1.5);
                    else {
                        theta = atan2(a[j].y-a[i].y, a[j].x-a[i].x);
                        if(theta<0) theta += 2.0*pi;
                    }
                    b[++tot] = sta(theta, j);
                }
            sort(b+1, b+n);
            for(j = n; j<=2*n-2; j++)
            {
                b[j] = b[j-n+1];
                b[j].theta += 2.0*pi;
            }

            long long temp;
            for(k = l = j = 1; j<n; j++) {
                
                if(det(a[b[j].id] - a[i], a[b[k].id] - a[i])==0ll
                    && dot(a[b[j].id] - a[i], a[b[k].id] - a[i])<0ll
                    && k>=n) temp = temp;
                else temp = 0;
                while(b[k+1].theta-b[j].theta < pi+1.0
                  && det(a[b[j].id] - a[i], a[b[k+1].id] - a[i])>=0ll) {
                    k++;
                    if(det(a[b[j].id] - a[i], a[b[k].id] - a[i])==0ll
                    && dot(a[b[j].id] - a[i], a[b[k].id] - a[i])<0ll
                    && k>=n)
                        temp++;
                    else temp = 0;
                }
                while(b[l+1].theta-b[j].theta<pi
                  && dot(a[b[j].id] - a[i], a[b[l+1].id] - a[i])>0) l++;
                cnt += k-l;
                cnt -= temp;
            }
            ans -= cnt;
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}