非确定性有穷状态决策自动机练习题Vol.3 D. Dp搬运工3 计数DP

非确定性有穷状态决策自动机练习题Vol.3 D. Dp搬运工3

题目描述

给定两个长度为 (n) 的排列，定义 (magic(A,B)=∑_{i=1}^nmax(Ai,Bi)) 。
现在给定 (n),(K) 问有多少对 ((A,B)) 满足 (magic(A,B)≥K)。

分析

首先转化一下，我们固定排列 (B) 为 $1∼n $，最后答案乘个 (n!) 就好了

我们设 (f[i][j][k]) 为 考虑到第 (i) 个位置，(i) 之前有 (j) 个位置没有填，当前产生的价值为 (k) 的方案数

我们可以选择在 (i) 的位置不填数，此时直接转移即可

(f[i][j+1][k]=f[i][j+1][k]+f[i-1][j][k])

我们可以把当前的 (i) 插入到之前没有填过的 (j) 个位置或者从之前没有用过的 (j) 个数中选择一个填到 (i) 所在的位置，还可以把数字 (i) 填入 (i) 的位置

此时的转移方程为
(f[i][j][k+i]=f[i][j][k+i]+f[i-1][j][k] imes (j imes 2+1))

我们还可以既把当前的 (i) 插入到之前没有填过的 (j) 个位置又从之前没有用过的 (j) 个数中选择一个填到 (i) 所在的位置，此时

(f[i][j-1][k+i+i]=f[i][j-1][k+i+i]+f[i-1][j][k] imes j imes j)

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn=55;
const int mod=998244353;
long long f[maxn][maxn][maxn*maxn];
int n,k;
int main(){
	freopen("D.in","r",stdin);
	freopen("D.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	f[1][0][1]=f[1][1][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int maxj=std::min(i-1,n-i+1);
		int maxk=i*i;
		for(int j=0;j<=maxj;j++){
			for(int k=0;k<=maxk;k++){
				if(f[i-1][j][k]){
					f[i][j+1][k]=(f[i][j+1][k]+f[i-1][j][k])%mod;
					f[i][j][k+i]=(f[i][j][k+i]+f[i-1][j][k]*(j*2LL+1))%mod;
					if(j) f[i][j-1][k+i+i]=(f[i][j-1][k+i+i]+f[i-1][j][k]*j*j*1LL)%mod;
				}
			}
		}
	}
	long long ans=0;
	for(int i=k;i<=n*n;i++){
		ans=(ans+f[n][0][i])%mod;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		ans=ans*1LL*i%mod;
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}