1、基本模型
有一个长度为 (2n)的(01)序列，其中(1,0)各 (n)个，要求对于任意的整数 $k in [1,2n] $，数列的前 (k)个数中，(1)的个数不少于(0)
满足条件的序列的数量为
[Cat_n=frac{C_{2n}^n}{n+1}
]
另一种形式
[Cat_n=C_{2n}^n-C_{cn}^{n-1}
]
又一种形式
[Cat(n)=frac{1}{n+1}sum_{i=0}^n{C_n^i}^2
]
递推式
[Cat_n=sum_{i=0}^{n-1}Cat_i imes Cat_{n-i-1}
]
[Cat(n+1)=frac{2(2n+1)}{n+2}Cat(n)
]
2、证明
主要是运用了翻折的思想
可以通过这种方法得出更为普遍的结论
比如这道题
3、推论
以下问题都与卡特兰数有关
(1)、(n)个左括号和(n)个右括号组成的合法括号序列的数量为(Cat_n)
(2)、(1,2,...,n)经过一个栈，形成的合法出栈序列的数量为(Cat_n)
(3)、(n)个节点构成的不同二叉树的数量为(Cat_n)
(4)、在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从((0,0))走到((n,n))并且除两个端点外不接触直线(y=x)的路线数量为(2Cat_n-1)
(5)、对凸 (n+2) 边形进行不同的三角形分割的方案数(分割线断点仅为顶点，且分割线仅在顶点上相交)
(6)、(n) 层的阶梯切割为 (n) 个矩形的切法数
4、解题思路
(1)、通过递推式得到卡特兰数
比如这道题
(2)、可以将题目转化为卡特兰数的模型
比如这道题
(3)、还可以找规律
卡特兰数的前几项:(1,1,2,5,14,42,132)
5、一些技巧
卡特兰的题目有很多需要高精度，建议学习一下我的高精度板子
还有一些题目给出的模数不是质数
我们可以把模数分解质因数，求出在模每一个质数下的答案，再用中国剩余定理和到一起
但是还有一种更简单的方法
因为分子比分母中一定存在数量更多的(或一样多)的因数 (p)
于是可以分别算出分子和分母中含有的某个质数 (p) 的指数是多少
再用上面的指数减去下面的指数，做一个快速幂就行了
求 (n!) 中 (p) 的指数
int cnt=0;
while(n){
n/=p;
cnt+=n;
}