数论之BSGS算法

UPDATE ON 2020.12.23 更新了原代码中的错误

BSGS算法

(BSGS(baby-step giant-step))，即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。

形式化地说，该算法可以在 (O sqrt{p}) 的时间内求解

[a^x equiv b (mod p) ]

其中 (gcd(a,p)=1)

根据欧拉定理，当 (gcd(a,p)=1) 时，(a^{varphi(p)}mod p=1)

而 (a^0mod p=1)

所以从 (1 sim varphi(p)) 出现了一个循环节

因此，我们只需要求出 (a^1 sim a^{varphi(p)})

然后分别带入左右两边判断是否相等

一般的题目中 (p) 为质数，所以 (varphi(p)=p-1)

一般就用 (p) 替代

但是这样做时间复杂度太高，可以用分块的思想优化

令 (a^x=a^{km-t})，那么原式就变成了

[a^{km} equiv ba^t (mod p) ]

我们只需要分别求出 (t=1 sim m) 时 (ba^t) 的值，将其存到哈希表里

然后从 (1 sim p/m) 枚举 (k) ，判断哈希表中有没有和 (a^{km}) 相等的数

当 (m=sqrt{p}) 时最优

代码

模板题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define rg register
inline int read(){
   rg int x=0,fh=1;
   rg char ch=getchar();
   while(ch<'0' || ch>'9'){
   	if(ch=='-') fh=-1;
   	ch=getchar();
   }
   while(ch>='0' && ch<='9'){
   	x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
   	ch=getchar();
   }
   return x*fh;
}
const int maxn=1e5+5,mod=1e5+3;
int p,a,n,blo,h[maxn],tot=1;
struct asd{
   int nxt,val,num;
}b[maxn];
void ad(int val,int id){
   rg int now=val%mod;
   for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
   	rg int cs=b[i].val;
   	if(cs==val){
   		if(b[i].num<id) b[i].num=id;
   		return;
   	}
   }
   b[tot].val=val;
   b[tot].nxt=h[now];
   b[tot].num=id;
   h[now]=tot++;
}
int cx(int val){
   rg int now=val%mod;
   for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
   	rg int cs=b[i].val;
   	if(cs==val) return b[i].num;
   }
   return -1;
}
int main(){
   memset(h,-1,sizeof(h));
   p=read(),a=read(),n=read();
   blo=sqrt(p)+1;//不要忘了加上一个1保证正确性
   rg int now=n,cs=1,haha;
   for(rg int i=1;i<=blo;i++){
   	now=1LL*now*a%p;
   	ad(now,i);
   	cs=1LL*cs*a%p;
   }
   now=1;
   for(rg int i=1;i<=blo;i++){
   	now=1LL*now*cs%p;
   	haha=cx(now);
   	if(haha!=-1){
   		printf("%d
",i*blo-haha);
   		return 0;
   	}
   }
   printf("no solution
");
   return 0;
}

扩展BSGS算法

求解

[a^x equiv b (mod p) ]

其中 (a,p) 不一定互质

这个时候就不能再找 (1 sim varphi(p)) 的循环节了，因为不满足欧拉定理的条件

我们把式子变一下，可以写成

[a imes a^{x-1}+kp=b ]

的形式

根据裴蜀定理，当 (gcd(a,p)|b) 时方程有解，否则无解

所以在有解的情况下，我们可以把方程左右两边同时除以 (gcd(a,p))，等号不变

此时原方程变为

[frac{a}{gcd(a,p)} imes a^{x-1}+k frac{p}{gcd(a,p)}=frac{b}{gcd(a,p)} ]

把 (frac{p}{gcd(a,p)}) 看成新的 (p)

把 (frac{b}{gcd(a,p)}) 看成新的 (b)

同时记录一下左边的系数之积 (frac{a}{gcd(a,p)})，并不断地提出 (a)

这样在最后一定会出现 (gcd(a,p)=1) 的情况，用普通的 (bsgs) 即可

不要忘了把提出去的 (a) 的系数加上

代码

模板题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=1e5+5,mod=1e5+3;
int h[maxn],tot=1;
struct asd{
	int nxt,val,num;
}b[maxn];
void ad(int val,int id){
	rg int now=val%mod;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int cs=b[i].val;
		if(cs==val){
			if(b[i].num<id) b[i].num=id;
			return;
		}
	}
	b[tot].val=val;
	b[tot].nxt=h[now];
	b[tot].num=id;
	h[now]=tot++;
}
int cx(int val){
	rg int now=val%mod;
	for(rg int i=h[now];i!=-1;i=b[i].nxt){
		rg int cs=b[i].val;
		if(cs==val) return b[i].num;
	}
	return -1;
}
int bsgs(rg int a,rg int p,rg int n,rg int xs){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	tot=1;
	rg int blo=sqrt(p)+1;
	rg int ac1=n,ac2=1,ac3=xs;
	for(rg int i=1;i<=blo;i++){
		ac1=1LL*ac1*a%p;
		ad(ac1,i);
		ac2=1LL*ac2*a%p;
	}
	for(rg int i=1;i<=blo;i++){
		ac3=1LL*ac3*ac2%p;
		ac1=cx(ac3);
		if(ac1!=-1) return i*blo-ac1;
	}
	return -1;
}
int gcd(rg int aa,rg int bb){
	return bb==0?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
int main(){
	rg int a,p,n,haha=1,now,ans,cnt;
	rg bool jud=0;
	while(1){
		a=read(),p=read(),n=read();
		if(a==0 && p==0 && n==0) break;
		haha=1,jud=0,cnt=0;
		a%=p,n%=p;
		if(n==1){
			printf("0
");
		} else if(a==0 && n==0){
			printf("0
");
		} else if(a==0){
			printf("No Solution
");
		} else if(n==0){
			while(1){
				if(p==1){
					printf("%d
",cnt);
					break;
				}
				now=gcd(a,p);
				if(now==1 && p!=-1){
					printf("No Solution
");
					break;
				}
				cnt++,p/=now;
			}
		} else {
			while(1){
				now=gcd(a,p);
				if(n%now!=0){
					jud=1;
					break;
				}
				if(now==1){
					ans=bsgs(a,p,n,haha);
					if(ans==-1) jud=1;
					ans+=cnt;
					break;
				}
				cnt++,p/=now,n/=now;
				haha=1LL*haha*(a/now)%p;
				if(haha==n){
					ans=cnt;
					break;
				}
			}
			if(jud){
				printf("No Solution
");
			} else {
				printf("%d
",ans);
			}
		}
	}
	return 0;
}