loj #6179. Pyh 的求和 莫比乌斯反演

题目描述

传送门

求 (sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^m varphi(ij)(mod 998244353))

(T) 组询问

(1 leq n,m,T leq 10^5)

分析

令 (n<m)

首先，我们把 (varphi(ij)) 拆成 (varphi(i)varphi(j)frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})

考虑求单个欧拉函数的方法

(varphi(i)=iprodlimits_{d in prime,d|i}frac{d-1}{d})

(varphi(i)varphi(j)) 比 (varphi(ij)) 多乘了 (i,j) 共有的质因子

所以我们要把这些共有的质因子做出的贡献消除

即乘上一个 (frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})

那么式子就变成了

(sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^mvarphi(i)varphi(j)frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})

按照莫比乌斯反演的套路，枚举 (gcd(i,j))

(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{i=1}^{n/d}sumlimits_{j=1}^{m/d}varphi(id)varphi(jd)[gcd(i,j)=1])

(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{i=1}^{n/d}sumlimits_{j=1}^{m/d}varphi(id)varphi(jd)sumlimits_{k|gcd(i,j)}mu(k))

(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{k=1}^{n/d}mu(k)sumlimits_{i=1}^{n/dk}sumlimits_{j=1}^{m/dk}varphi(idk)varphi(jdk))

(sumlimits_{T=1}^nsumlimits_{d|T}frac{d}{varphi(d) }mu(frac{T}{d})sumlimits_{i=1}^{n/T}sumlimits_{j=1}^{m/T}varphi(iT)varphi(jT))

设 (g(T)=sumlimits_{d|T}frac{d}{varphi(d) }mu(frac{T}{d}),s(n,m)=sumlimits_{i=1}^nvarphi(mi))

原式变成

(sumlimits_{T=1}^ng(T)s(n/T,T)s(m/T,T))

(g) 数组和 (s) 数组可以 (nlogn) 预处理出来

然后就可以 (O(n)) 计算每一次的答案

总复杂度就是 (O(nT))，还是不够优秀

我们可以人为地设一个值 (top)

当 (T<frac{m}{top}) 时暴力计算

否则 (frac{n}{T},frac{m}{T}) 一定是小于 (top) 的

那么我们就可以开一个数组把小于 (top) 的这一部分预处理出来

查询的时候就可以直接用

这道题的内存限制是 (64M)

所以不能直接开数组

而要开一个内存池或者用 (vector)

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define rg register
const int maxn=1e5+5,maxm=55,mod=998244353,tp=52;
inline int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
inline int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
inline int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int pri[maxn],mmax,phi[maxn],mu[maxn],g[maxn],*f[maxm][maxm],buf[maxn*160],*o=buf,*s[maxn];
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
bool not_pri[maxn];
void pre(){
	not_pri[0]=not_pri[1]=1;
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(rg int i=2;i<=mmax;i++){
		if(!not_pri[i]){
			pri[++pri[0]]=i;
			phi[i]=i-1;
			mu[i]=mod-1;
		}
		for(rg int j=1;j<=pri[0] && 1LL*i*pri[j]<=mmax;j++){
			not_pri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=mulmod(pri[j],phi[i]);
				break;
			} else {
				phi[i*pri[j]]=mulmod(phi[pri[j]],phi[i]);
				mu[i*pri[j]]=mulmod(mu[pri[j]],mu[i]);
			}
		}
	}
	rg int cs;
	for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
		cs=mulmod(i,ksm(phi[i],mod-2));
		for(rg int j=i,now=1;j<=mmax;j+=i,now++){
			g[j]=addmod(g[j],mulmod(cs,mu[now]));
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
		cs=mmax/i;
		s[i]=o;
		o+=(cs+1);
		for(rg int j=1;j<=cs;j++){
			s[i][j]=addmod(s[i][j-1],phi[i*j]);
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=tp;i++){
		for(rg int j=1;j<=tp;j++){
			f[i][j]=o;
			f[i][j][0]=0;
			cs=std::min(mmax/i,mmax/j);
			o+=(cs+1);
			for(rg int k=1;k<=cs;k++){
				f[i][j][k]=(addmod(f[i][j][k-1],mulmod(g[k],mulmod(s[k][i],s[k][j]))));
			}
		}
	}
}
int t,n,m;
int main(){
	mmax=1e5;
	pre();
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m) std::swap(n,m);
		rg int nans=0,mmax=m/tp,orz1,orz2;
		for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
			nans=addmod(nans,mulmod(g[i],mulmod(s[i][n/i],s[i][m/i])));
		}
		for(rg int l=mmax+1,r;l<=n;l=r+1){
			r=std::min((n/(n/l)),m/(m/l)),orz1=n/l,orz2=m/l;
			nans=addmod(nans,delmod(f[orz1][orz2][r],f[orz1][orz2][l-1]));
		}
		printf("%d
",nans);
	}
	return 0;
}