矩阵正定、负定、半正定、半负定

矩阵正定

对于实对称矩阵(M_{n imes n})正定<=>非任意零实系数向量z，(z^TMz)>0

对于埃尔米特矩阵（复数共轭对称矩阵）(M_{n imes n})正定<=>对于任意非零复数向量z，(z^*Mz>0)

等价条件

1. 矩阵(M)的所有特征值都是正的；
2. 顺序主子式大于零

矩阵负定、半定、不定

(M)为(n imes n)埃尔米特阵，(z^*)表示向量z的共轭转置

负定

对于矩阵(M_{n imes n}),对于所有非零向量z， (z^*Mz<0);

半正定

对于所有非零向量z， (z^*Mzgeq 0);

半负定

对于所有非零向量z， (z^*Mzleq 0);

不定

既不半正定也不半负定

conclusion

1. 正定负定是相对于对称矩阵、埃尔米特阵来说的；