二分法&三分法

ural History Exam    二分

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

//二分查找
bool binarySearch(long a[], long x, int n){
    int left = 0,right = n-1;
    int middle;
    while (left <= right){
        middle = (left+right)/2;
        if (x == a[middle]) return 1;
        if (x > a[middle]) left = middle + 1;
        else right = middle - 1;
    }
    return 0;
}

int cmp(const void *a, const void *b)  {  
    return *(int *)a - *(int *)b;  
}  

int main(){
    int numprofessor;
    scanf("%ld",&numprofessor);
    
    long yearProfessor[numprofessor];
    for(int i=0;i<numprofessor;i++){
        scanf("%ld",&yearProfessor[i]);
    }
    
    qsort(yearProfessor,numprofessor,sizeof(long),cmp);
    long numstudent;
    scanf("%ld",&numstudent);
    
    long result=0;
    
    long yearstudent[numstudent];
    for(int i=0;i<numstudent;i++){
        scanf("%ld",&yearstudent[i]);
        if( binarySearch(yearProfessor, yearstudent[i], numprofessor)){
            result++;
        }
        
    }
    
    cout<<result;
        
} 

二分

ural Fibonacci Sequence

第一遍用递归写，结果在数据比较大时，超时了。题目要求1000ms,测试结果是1029ms,代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int i,j,fi,fj,n;
int count=0,count1=0,count2=0;
int finext;           // 表示fi下一个f(i+1)的值 

int fib1(int j){      /*递归程序1：计算fj时用到的fi和finext的次数  */  
      if(j==i){ 
            count1++;   //记录fi用到的次数 
          return 1; 
      }
      if(j==i+1){
            count2++;   //记录finext用到的次数 
            return 1;
      }  
      return  fib1(j-1) + fib1(j-2);
}

long fib3 (int n){
    //* 迭代解法：这里算法复杂度显然为O(n) ，
   // 这个解法目前来看是最好的解法，算法既不复杂，而且在时间复杂度和空间复杂度上都有保证  
    if(n==i){
        return fi;
    }   
    if(n==i+1){
        return finext;
    }
    long long x = fi, y = finext;
    for (int a= i; a<n-1; a++){
         y = x + y;
         x = y - x;
    }
    return y;
}
 
int main(){
    cin>>i>>fi>>j>>fj>>n;
    if(j<i){
        int temp=j,temp1=fj;
        j=i;
        fj=fi;
        i=temp;
        fi=temp1;
    } 
    int a=fib1(j);
    finext=(fj-count1*fi)/count2;
    cout<<fib3(n)<<endl;
    
}

回想了一下最近学习的二分法，发现暴力枚举后得二分优化，貌似可以过，遂有下代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const long long NLAR = 2000000000;
long long i,fi,j,fj,n;

int main(){  
    cin >> i >> fi >> j >> fj >> n;
    if(j<i){     //保证j>i 
        int temp=j,temp1=fj;
        j=i;
        fj=fi;
        i=temp;
        fi=temp1;
    }
    
    // cal f[i+1]
    
    long long left=-NLAR, right=NLAR, mid;
    long long ti=fi, tj=mid, t;
    while (left+1<right){
        mid = (left+right)/2;
        ti=fi; tj=mid;
        for (int k=i+2; k<=j; ++k){
            t=ti+tj; 
            ti=tj;
             tj=t;
            if(t>NLAR*2 ||t<-NLAR*2) break;
        }
        if(tj>=fj) right = mid;
            else left=mid;
    }

    ti=fi; tj=right;
    if(n>i){
        for(int k=i+2;k<=n;++k){
            t=ti+tj; 
            ti=tj; 
            tj=t;  
        }    
        cout << tj << endl;
    }
    else {
        for(int k=i-1; k>=n; ++k){
            t=tj-ti; 
            tj=ti; 
            ti=t;
        }
        cout << ti << endl;
    }

    return 0;
}

三分法主要求解单峰函数极值，

ural Bookshelf

本题目中要求的函数的图像（取H=6，h=1）为：可以看出这是一个单峰函数，可以运用三分法求极值。

 

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <iomanip> 
#include <cmath>
using namespace std;
#define EPS 1e-9

int h,H,L;
double fx(double x){
    return H/2.0*x/sqrt(h*h+x*x)-x;    
}

int main(){
    cin>>h>>H>>L;
    double left=0,right=H;
    long double isover=1;
    
    while(isover>EPS){
        double m1=left+(right-left)/3;
        double m2=right-(right-left)/3;
        
        double fm1=fx(m1);
        double fm2=fx(m2);
        
        if(fm1<fm2) left=m1;
        else  right=m2;
        isover=right-left;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(6)<<fx(right)<<endl; 
} 

这里再收录一个关于二分法的课堂例题，poj1064

/*
 * poj-1064 Cable master.cpp
 *      二分， 化为整数存储，下界为1(cm)，上界为最长绳的长度
 *
 */
#include<cstdio>
using namespace std;

const double eps = 1e-7;    //注意精度
const int maxn = 10000 + 10;

int n, k, cable[maxn];

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &k);
    double ftmp;
    int tmpMax = 0;
    for(int i=0; i<n; i++){
        scanf("%lf", &ftmp);
        cable[i] = int((ftmp+eps) * 100);    //精度

        if(cable[i] > tmpMax) tmpMax = cable[i];
    }

    int up = tmpMax, low = 1, mid = -1, ans = -1;
    int tmpNum = 0;
    while(low <= up){
        mid = (up + low) / 2;
        tmpNum = 0;
        for(int i=0; i<n; i++)
            tmpNum += cable[i] / mid;

        if(tmpNum >= k){
            if(mid > ans) ans = mid;
            low = mid + 1;
        }
        else
            up = mid - 1;
    }

    if(ans < 1)
        printf("0.00
");
    else
        printf("%.2lf
", ans * 0.01);


    return 0;
}