背包问题

读《背包九讲》的几点感受，这里mark一下。

a.01背包问题题目描述：

　　有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

 该问题的解决的一般思路是：写状态转移方程、动态规划。

   

　具体实现的伪代码如下：

     

  我们可以观察到上述伪码的时间复杂度和空间复杂度都是O(NV),对于时间复杂度暂时没有好的方法优化，但是空间复杂度却可以降低到O(V).

       

  为什么把第二次循环掉个头，就可以用一维的F[]就能实现了？

  其中“刚好装满”的例题：

POJ 3624   Charm Bracelet

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

struct data{
    int weight ;   //重量 
    int value ;    //价值 
};

int main(){
    int num;       //物品个数 
    int maxm;      //最大能承受重量 
    cin>>num>>maxm; 
    data pack[num+1];    
    for(int i=1;i<=num;i++){    //输入数据 
        cin>>pack[i].weight ;     
        cin>>pack[i].value ;
    }    
    
    int result[maxm+1];  //初始化为0;  
    memset(result,0,sizeof(result));
    
    for(int i=1;i<=num;i++){  
        for(int v=maxm;v>=pack[i].weight;v--)
        {                                      
                result[v]=max( result[v],   result[v-pack[i].weight]+pack[i].value );                
        }      
    } 
    cout<<result[maxm]<<endl;
} 

b.完全背包问题题目描述：

      有N种物品和一个容量为V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。

　　这里给出一个解决方案的伪码。仔细观察可以发现，这个和01背包问题的区别仅仅是第二个for循环遍历的方向不同而已，这就实现了可以取无限件。“看似困难的问题，却存在着巧妙而简单的的解决方法”，也许这正是算法的妙处。下面来解释这到底为什么：

这里曝上一道完全背包的问题，直接套用上面的伪码即可：

POJ 1384   Piggy-Bank

//我的代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int num=501,oo=1000000000;
int f[10001]={0},p[num],w[num];
int main()
{ 
    int t,n,weight_e,weight_f,i,j,weightpig;
    scanf("%d",&t);
    while (t--){

        scanf("%d%d",&weight_e,&weight_f);
        for (i=1;i<=weight_f;i++) f[i]=oo;
        weightpig=weight_f-weight_e;
        scanf("%d",&n);
        for (i=1;i<=n;i++) 
            scanf("%d%d",&p[i],&w[i]);
        
        for (i=1;i<=n;i++){
            for (j=w[i];j<=weightpig;j++){
                if (f[j-w[i]]+p[i]<f[j]) f[j]=f[j-w[i]]+p[i];    
            }
        }
            
        if (f[weightpig]==oo){
             printf("This is impossible.
");    
        }
        else{
             printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.
",f[weightpig]);    
        } 
    }
}