NYOJ 333

http://www.cppblog.com/RyanWang/archive/2009/07/19/90512.aspx?opt=admin

欧拉函数

E(x)表示比x小的且与x互质的正整数的个数。
*若p是素数，E(p)=p-1。
*E(p^k)=p^k-p^k-1=(p-1)*p^k-1
证：令n=p^k,小于n的正整数数共有n-1即(p^k-1)个,其中与p不质的数共[p^k-1-1]个(分别为1*p,2*p,3*p...p(p^k-1-1))。
所以E(p^k)=(p^k-1)-(p^k-1-1)=p^k-p^k-1.得证。
*若ab互质，则E(a*b)=E(a)*E(b)，欧拉函数是积性函数.
*对任意数n都可以唯一分解成n=p₁^a1*p₂^a2*p₃^a3*...*p_n^an(p_i为素数).
则E(n)=E(p₁^a1)*E(p₂^a2)*E(p₃^a3)*...*E(p_n^an)     
      =(p₁-1)*p₁^(a1-1)*(p₂-1)*p₂^(a2-1)*...*(p_n-1)*p_n^(an-1)
      =(p₁^a1*p₂^a2*p₃^a3*...*p_n^an)*[(p₁-1)*(p₂-1)*(p₃-1)*...*(p_n-1)]/(p₁*p₂*p₃*...*p_n)
      =n*(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*...*(1-1/p_n)

　　(p_i为n的素因子)

NYOJ 333  题目：

mdd的烦恼

描述

今天mdd看到这么一段话：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。于是他想用计算机实现欧拉函数的功能，但是他又不想去写，你能帮帮他吗？

ps:互质（relatively primeì）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。

输入

有多组测试数据组数小于1003，
每组测试数据有一个整数n(0<n<=65535^2+1).

输出

输出欧拉函数φ(n)的值。

样例输入

2
6
46

样例输出

1
2
22

AC代码：

#include<stdio.h>
long long phi(long long a){
    long long temp=a;
    for(long long i=2;i*i<=a;i++){
        if(a%i==0){
            while(!(a%i))a/=i;  //去掉所有的质因子i （由i*i<=a 保证这些i都是质因子）  
            temp=temp/i*(i-1);  
        }
    }
    if(a!=1) temp=temp/a*(a-1);  //考虑a为质数的情况    
    return temp;
} 

int main() {
    long long a,b,c;
    while(scanf("%lld",&a)!=EOF)
        printf("%lld
",phi(a));
    return 0;
}