0/1背包问题简析备忘

主要就是参照百度百科来的，本文目的是自己学习备忘。

问题描述：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
测试数据：
1
物品数 5， 背包容量 100， 重量及价格
77 92 　　22 22 　　29 87 　　50 46 　　99 90

2
物品数 8， 背包容量 200， 重量及价格　
79 83 　　58 14 　　86 54 　　11 79 　　28 72 　　62 52 　　15 48 　　68 62 

解法1，dp方法（同时打印出选了哪些物品1表示选，0表示不选）：

#include <stdio.h>

#define N 5

#define V 100

#if 0

int c[V + 1] = {0, 15, 10, 35, 18, 25 };//volume = 45

int w[V + 1] = {0, 20, 15, 30, 25, 23 };

#else

int c[V + 1] = {0, 77, 22, 29, 50, 99 };//volume = 100

int w[V + 1] = {0, 92, 22, 87, 46, 90 };

#endif

int f[N][V + 1];

int flag[N + 1];

void trace_back ()

{

int i = 1;

int v = V;

for (i = N; i > 0; --i)

{

if (f[i][v] != f[i-1][v])

{

v -= c[i];

flag[i] = 1;

}

}

for (i = 1; i <= N; i++)

printf ("%d", flag[i]);

printf ("\n");

}

int main(int argc, char * argv[])

{

int i = 1;

int v = 0;

for (i = 1; i < N; ++i)

{

for (v = V; v > 0; --v) 

{

if (v >= c[i])

f[i][v] = (f[i-1][v] > f[i-1][v-c[i]] + w[i]) ?

f[i-1][v] : f[i-1][v-c[i]] + w[i];

else

f[i][v] = f[i-1][v];

}

}

f[N][V] = f[i-1][V] > f[i-1][V-c[i]] + w[i] ? 

f[i-1][V] : f[i-1][V-c[i]] + w[i];

printf ("Max value : %d\n", f[N][V]);

trace_back ();

return 0;

}

以上算法，空间上可以优化，既f可以用一维数组，循环部分改为如下就可以了：

//注意其中内层循环v必须是递减的，以保证后面用的f[v-c[i]]时用的是i-1状态时存下的值。

for (i = 1; i < N; ++i)

{

for (v = V; v >= c[i]; --v)

{

f[v] = f[v] > f[v - c[i]] + w[i] ? 

f[v] : f[v - c[i]] + w[i];

}

} 

f[V] = f[V] > f[V - c[i]] + w[i] ? 

  f[V] : f[V - c[i]] + w[i];

printf ("Max value : %d\n", f[V]);

递归解法如下：

#include <stdio.h>

#define N 5

#define V 100

#define MAXSIZE 10

#if 0 

int c[MAXSIZE + 1] = { 15, 10, 35, 18, 25 };//volume = 45

int w[MAXSIZE + 1] = { 20, 15, 30, 25, 23 };

#else

int c[N] = { 77, 22, 29, 50, 99 };//volume = 100

int w[N] = { 92, 22, 87, 46, 90 };

#endif

int F (int n, int v)

{

int temp1 = 0;

int temp2 = 0;

if (n == 0)

return 0;

if ( v >= c[n-1])

temp1 = F (n - 1, v - c[n-1]) + w[n-1];

temp2 = F (n - 1, v);

return temp1 > temp2 ? temp1 : temp2;

}

int main (int argc, char *argv[])

{

printf ("%d\n", F (N, V));

return 0;

}

时间和空间上都稍优一点，可见递归并不是低效的代名词。