37-分治算法

设计思想

• 分而治之
  • 就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题 (这些子问题互相独立且与原问题形式相同)…… 直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解 即 子问题的解的合并
• 分治 & 递归
  • 如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的
  • 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便
  • 在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解
  • 这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法
• 分治法在每一层递归上都有3个步骤
  • 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
  • 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
  • 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解

应用

• 这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
• 分治算法可以求解的一些经典问题
  • 二分搜索
  • 大整数乘法
  • 棋盘覆盖
  • 归并排序
  • 快速排序
  • 线性时间选择
  • 最接近点对问题
  • 循环赛日程表
  • 汉诺塔

设计模式

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)

• |P| 表示 问题P的规模
• n0 为一阈值，表示当 问题P的规模 不超过 n0 时，问题已容易直接解出，不必再继续分解
• ADHOC(P) 是该分治法中的 基本子算法，用于直接解 小规模的问题P；因此，当 P的规模 不超过 n0 时直接用 算法ADHOC(P) 求解
• 算法MERGE(y1,y2,…,yk) 是该分治法中的 合并子算法，用于将 P的子问题P1, P2, …, Pk 的 相应的解y1, y2, …, yk 合并为 P的解

案例：汉诺塔

思路分析

• dishes = 1
  • A → C
• dishes > 1，可以把 dishes 看作 2 部分：① 最下面的 1 个，② 上面的 dishes - 1 个
  • ②：A → B
  • ①：A → C
  • ②：B → C

代码实现

public class Hanoi {
	public static void main(String[] args) {
		hanoi(5, 'A', 'B', 'C');
	}
	
	/**
	 * 汉诺塔
	 * @param n 盘子总量
	 * @param a 盘子所在的初始柱子
	 * @param b 移动盘子时所借助的柱子
	 * @param c 盘子要移动到的柱子
	 */
	public static void hanoi(int n, char a, char b, char c) {
		if(n == 1)
			System.out.printf("[%d] %c → %c
", 1, a, c);
		else {
			hanoi(n - 1, a, c, b);
			System.out.printf("[%d] %c → %c
", n, a, c);
			hanoi(n - 1, b, a, c);
		}
	}
}