43-Kruskal 算法

Kruskal 算法

• Prim 算法是从 [顶点] 的角度来刻画生成树的，Kruskal 算法则是从 [边] 的角度来进行刻画的
• 基本思想
  • 按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路
• 具体做法
  • 首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

看一眼Kruskal的整个过程

1. 将边 <E,F> 加入 R 中：边 <E,F> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中
2. 将边 <C,D>加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,D> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中
3. 将边 <D,E> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <D,E> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中
4. 将边 <B,F> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,E> 的权值最小，但 <C,E> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <C,E>。同理，跳过边 <C,F>。将边 <B,F> 加入到最小生成树结果 R 中
5. 将边 <E,G> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <E,G> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中
6. 将边 <A,B> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <F,G> 的权值最小，但 <F,G> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <F,G>。同理，跳过边 <B,C>。将边 <A,B> 加入到最小生成树结果 R 中

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>

俩问题

按权值给边排序

• 采用排序算法，我这里就无脑bubble了
• 还得给 '边' 整个数据结构(EdgeData)
  • '边' 这头的顶点 - v1
  • '边' 另一头的顶点 - v2
  • '边' 的权值 - weight

判断是否构成回路

• 树的双亲表示法
  

• 大概说下什么是 [并查集]
  

• 上面和判断构成回路有啥关系？

  • 交并集 是 一个用 双亲表示法 所表示的 森林
  • 可以利用这个结构来查找某一个顶点的双亲，进而找到根结点。这样，我们就能判断某两个顶点是否同源，在图中的表现就是加上这条边后会不会构成回路
  • {并查集} 以 顶点 为基准，有几个顶点，就有几项
  • 这里适用与顶点编号连续的情况；这样在 {并查集} 中，数组的下标就对应顶点的编号，数组的值就是这个顶点所在的双亲。这就是树的双亲表示法。高效率地利用数组下标
  • 【BTW】下面提到的 "根" 和 "终点" 是一码事

算法步骤

1. 将 边(EdgeData)构成的数组 按照权值，从小到大排序
2. 对 { 并查集ends[] } 进行初始化，即把每一个位置中的值初始化为其对应下标
3. 选取 EdgeData[] 的第1项，查询该边所对应的顶点在 ends 中是否同源，同源则进行5，不同源则进行4
4. 若不同源，则把该边加入生成树，并修改 ends[v1的根] = v2的根
5. 若同源，则跳过，继续遍历EdgeData[]
6. 重复4~5，直到存储结构中所有的项被遍历

代码实现

public class KruskalCase {
	private int edgeNum;
	private char[] vertexs;
	private int[][] weightEdges;
	private EdgeData[] MST;
	// 使用 INF 表示 两个顶点不能连通
	private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
	
	public static void main(String[] args) {
		char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
		// 0 表示自连; * 表示连通; INF 表示不连通
		int weightEdges[][] = {
				        /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
				/*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
				/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
				/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
				/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
				/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
				/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
				/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}
		}; 
		KruskalCase kc = new KruskalCase(vertexs, weightEdges);
		kc.printMatrix();
		kc.kruskal();
		kc.printMST();
	}

	// 构造器 (copy)
	public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] weightEdges) {
		// 初始化 顶点
		int vLen = vertexs.length;
		this.vertexs = new char[vLen];
		// 初始化 MST
		MST = new EdgeData[vLen-1];
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
			this.vertexs[i] = vertexs[i];
		// 初始化 matrix
		this.weightEdges = new int[vLen][vLen];
		for(int i = 0; i < vLen; i++)
			for(int j = 0; j < vLen; j++)
				this.weightEdges[i][j] = weightEdges[i][j];
		// 统计 edge 数目
		for(int i = 0; i < vLen; i++)
			for(int j = i + 1; j < vLen; j++)
				if(weightEdges[i][j] != INF)
					edgeNum ++;
	}
	
	public void kruskal() {
		// 表示最后结果数组的索引
		int index = 0; 
		// 用于保存 <已有~最小生成树> 中每个顶点在MST的双亲
		int[] ends = new int[edgeNum];
		for(int i = 0; i < ends.length; i++)
			ends[i] = i;
		// 获取 图 中所有的边的集合
		EdgeData[] edges = getEdges();
		sortEdges(edges);
		// 将 edge 添加到 MST
		for(int i = 0; i < edgeNum; i++) {
			// a. 获取 edge-i 的一头
			int v1 = getPosition(edges[i].start);
			// b. 获取 edge-i 的另一头
			int v2 = getPosition(edges[i].end);
			// c. 获取 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点
			int m = getEnd(ends, v1);
			// d. 获取 v2 在 <已有~最小生成树> 中的终点
			int n = getEnd(ends, v2);
			// e. 判断准备加入的 edge 是否构成 回路
			if(m != n) { // 不构成回路
				ends[m] = n; // 将 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点 更新为 v2 的终点
				MST[index++] = edges[i];
			}
			// 边数够了就没必要再继续下去了, 反正之后的边也肯定会构成回路
			if(index == MST.length) break;
		}
	}

	public void printMST() {
		System.out.println("最小生成树: ");
		for(int i = 0; i < MST.length; i++)
			System.out.println(MST[i]);
	}
	
	public void printMatrix() {
		System.out.println("matrix: ");
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			for(int j = 0; j < vertexs.length; j++)
				System.out.printf("%12d	", weightEdges[i][j]);
			System.out.println();
		}
	}
	
	/**
	 * 根据 顶点v的数据值 找到其对应的索引
	 * @param v 顶点的数据值
	 * @return 找不到返回 -1
	 */
	private int getPosition(char v) {
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
			if(vertexs[i] == v)
				return i;
		return -1;
	}
	
	private void sortEdges(EdgeData[] edges) {
		EdgeData temp;
		for(int i = 0; i < edgeNum - 1; i++)
			for(int j = 0; j < edgeNum - 1 - i; j++)
				if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
					temp = edges[j];
					edges[j] = edges[j+1];
					edges[j+1] = temp;
				}
	}
	
	private EdgeData[] getEdges() {
		EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
		int index = 0;
		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
			// 关于主对角线对称
			for(int j = i + 1; j < vertexs.length; j++)
				if(weightEdges[i][j] != INF)
					edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], weightEdges[i][j]);
		return edges;
	}
	
	/**
	 * 获取索引为 i 的顶点的终点(是终点!!!不是双亲!!!)
	 * @param i
	 * @param ends 记录了各个顶点对应的双亲!(该数组是逐步形成的)
	 * @return 索引为i的顶点 对应的 终点的索引
	 */
	private int getEnd(int[] ends, int i) {
		// 如果ends[v] = v, 则它就是根; 否则就让v = ends[v], 向上寻找, 直到其相等
		while(ends[i] != i)
			i = ends[i];
		return i;
	}
	
}

class EdgeData {
	// 边的两头上的点
	char start;
	char end;
	// 边的权重
	int weight;
	
	public EdgeData(char start, char end, int weight) {
		super();
		this.start = start;
		this.end = end;
		this.weight = weight;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return "[" + start + ", " + weight + ", " + end + "]";
	}
}

review

• 判断构成回路
  

• 如果不构成回路，ends[m] = n