LeetCode 441. Arranging Coins

You have a total of n coins that you want to form in a staircase shape, where every k-th row must have exactly k coins.

Given n, find the total number of full staircase rows that can be formed.

n is a non-negative integer and fits within the range of a 32-bit signed integer.

Example 1:

n = 5

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤

Because the 3rd row is incomplete, we return 2.

Example 2:

n = 8

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤
¤ ¤

Because the 4th row is incomplete, we return 3.

【题目分析】

题目很简单，实际是一个等差数列。等差数列的求和公式为:k(k+1)/2

【思路】

1. 直接遍历即可，从1开始，如果剩下是数不能构成一行则返回。注意要先判断剩下的数是否满足，而不是累加以后再判断，这样可能会导致溢出。

2. 牛顿法

　　结合前面的题目，发现这个题目也可以用牛顿法来解决，实际求的是x*(x+1)/2 - n = 0时x的值。

　　利用牛顿法导出递推关系式：x_i+1 = (x_i*x_i+2*n) / (2*x_i+1)

　　牛顿法可以参考：http://www.cnblogs.com/liujinhong/p/6014973.html

　　在这自编sqrt()函数的题目中也用到了牛顿法，但是牛顿法的结果会有一些坑，大家在使用的时候要注意。有些情况下牛顿法只能收敛到某个精度，收敛值可能会在最后几个值中循环变动。所以最好自己确定收敛精度，并对最后的结果进行判断后再返回值。在这个题目中我使用牛顿法只是一种尝试，不建议大家使用。

3. 直接推导结果

　　直接看公式就可以了 
　　/* 数学推导 
　　假设完成K层，一共N个，由等差数列求和公式有： 
　　(1+k)*k/2 = n 
　　一步步推导： 
　　k+k*k = 2*n 
　　k*k + k + 0.25 = 2*n + 0.25 
　　(k + 0.5) ^ 2 = 2*n +0.25 
　　k + 0.5 = sqrt(2*n + 0.25) 
　　k = sqrt(2*n + 0.25) - 0.5 
　　这里k是个浮点数，将其取为小于k的最大整数就可以 
　　*/

【java代码1】

public class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        if(n < 1) return 0;
        int count = 0,i;
        for(i=1; n-count>=i; i++){
            count += i;
        }
        return i-1;
    }
}

【java代码之牛顿法】

public class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        if(n < 1) return 0;
        double last = 0, res = 1,num = n;
        
        while(Math.abs(last-res) > 10e-3) {
            last = res;
            res = (res*res + 2*num) / (2*res + 1);
        }
        
        int count = (int)res;
        int rest = count%2 == 0? n-(count/2)*(count+1): n-count*((count+1)/2);
        return rest <= count? count: count+1;
    }
}

 【java代码math推导方法】

public class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        return (int) (Math.sqrt(2*(long)n+0.25) - 0.5);
    }
}

这些方法的运行时间大概都在50ms左右，差别不是很大，不过最后一种方法很是简洁。其他几种方法有助于大家对这个题目的理解。