DP（我的比较菜，很垃圾）

动态规划基础
清华大学 赵和旭

前言
◦ 1：我们先不对动态规划做一些枯燥的定义。
◦ 2：而是看两个简单的问题，看看如何分析和解决这样的问题，从这几道
题的分析过程共同点或者说特点中，归纳总结出动态规划的一般特点和
思路。
◦ 3：然后再通过几道例题来强化理解我们总结的动态规划做题思路。
◦ 4：之后我们将从另一角度理解动态规划，即记忆化搜索视角。
◦ 5：我们还将理解DP一种简单情况的转移路径， DAG上的DP。
◦ 6：再通过大家独立思考，实践两道题目，实现对dp算法的初步运用。
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前言
◦ 7：一般形式的背包dp。
◦ 8：一般形式序列上的dp。
◦ 9：一般形式的区间dp。
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填满网格
◦给出一个2*n的网格，你现在需要用n个 2*1的多米诺骨牌占满整个棋盘。
◦多米诺骨牌可以横着或者竖着放。
◦求有多少方案数占满整个棋盘。
◦ N<=10^6
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填满网格
◦设f[n]为n列的答案
◦则根据如何对最后一两列放多米诺分情况讨论可得
◦ f[n]=f[n-1]+f[n-2]。
◦这是递推，也算是一个简单的dp，只不过绝大多数dp的转移方程不是根
据这题一样简简单单的一个加号就解决的。
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网格图路径计数
◦给出一个n*m的网格，每次只能向右或者向下走，求从(1,1)走到(n,m)的方
案数，其中有些位置是不能走的。
◦ n,m<=1000
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网格图路径计数
◦如果没有障碍物：设dp[i][j]表示从(1,1)，走到(i,j)的方案数。
◦考虑上一步从哪里走过来可得， dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。
◦答案就是dp[n][m]。
◦对于障碍：如果(i,j)是一个障碍，则定义dp[i][j]=0。
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走金字塔的最大价值路径
◦ 给出一个高度为n的金字塔，你现在要从金字塔的顶端走到金字塔的底端。
◦ 金字塔的第i层，第j房间（记为(i,j) ）有价值为a[i][j]的宝藏，每一步能从(i,j)能
走到， (i+1,j) , (i+1,j+1)。求从金字塔顶部走到底部能获得的最大的价值是多少？
◦ n=4的一个例子。
◦ 7
◦ 3 8
◦ 8 1 0
◦ 2 7 4 4
◦ ans=7+3+8+7=25
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走金字塔的最大价值路径
◦和前面两题差不多。只不过前面是求方案数，运算法则为加法，而这里
求最优值，运算法则是取max。
◦设dp[i][j]表示从塔顶走到(i,j)能得到的最大的价值是多少。
◦则dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j]。
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动态规划的基本思想？ ——最优化。
◦利用最优化原理把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之
间的关系，逐个求解。
◦更具体的，假设我们可以计算出小问题的最优解，那么我们凭借此可以
推出大问题的最优解，进而我们又可以推出更大问题的最优解。（要满
足最优子结构）
◦（从小问题答案推到大问题的答案）
◦而最小的问题也就是边界情况我们可以直接计算出答案来。
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动态规划的基本思想？ ——最优化。
◦基本思想是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解
子阶段，小的子问题的解，为更大子问题的求解提供了有用的信息。
◦由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，
对每一个子问题只解一次。
◦就像刚刚那几个递推式我们如果递归来做就会有很多冗余的计算。
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动态规划的状态
•动态规划过程中，需要有状态表示和最优化值（方案值）
•状态表示是对当前子问题的解的局面集合的一种（充分的）描述。
•最优化值（方案值）则是对应的状态集合下的最优化信息（方案值），
我们最终能通过其直接或间接得到答案。
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状态表示
◦对于状态的表示，要满足三条性质
◦ 1：具有最优化子结构：即问题的最优解能有效地从问题的子问题的最优
解构造而来
◦ 2：具有简洁性：尽可能的简化状态的表示，获得更优的时间复杂度。
◦ 3：同时能够全面的描述一个局面。一个局面有一个答案，而这个局面是
需要一些参数来描述的。
◦设计状态的关键就是 充分描述，尽量简洁。
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动态规划的精髓？ ——状态转移
•由于具有最优化子结构（在最优化问题种），所以求当前状态的最优值
可以通过其他的（较小的问题）状态的最优值加以变化而求出。所以，
当一个状态的所有子结构都已经被计算之后，我们就可以通过一个过程
计算出他的最优值。这个过程就是状态的转移。
•注意：状态的转移需要满足要考虑到所有可能性。
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怎么计算动态规划的时间复杂度？
◦一般简单动态规划时间复杂度==状态数×状态转移复杂度。
◦同时也就引出了dp的两种优化时间的方法
◦ 1：减少状态的维数
◦ 2：加速状态转移，例如数据结构优化或者分析性质
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◦接下来我将通过一道例题，来对上面所说的思想和精髓包括复杂度的计
算来进行解释。
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最长上升子序列
• 给出一个长度为n的数列 a[1..n], 求这个数列的最长上升子序列。
• 就是给你一个序列，请你在其中求出一段不断严格上升的子序列，子序列是不
一定要求连续的。
• 2,3,4,7和2,3,4,6是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长上升子序列的长度就
是4。
• N<=1000
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最长上升子序列
◦这是一道最为经典的完全用动态规划来解决的问题。
◦设dp[i]为以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度。
◦最后的答案就是我枚举一下最长上升子序列的结束位置，然后取一个最
大值即可。
◦问题是如何求这个数组？
◦那我们回过头来想一想最开始说的动态规划的基本思想，从小的问题推
出大的问题。
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最长上升子序列
◦假设我们知道了dp[1..(i-1)]，我们怎么才能根据这些信息推出来dp[i]。
◦再次强化一下定义： dp[i]表示以i结尾的最长上升子序列。
◦我们只需要枚举这个上升子序列倒数第二个数是什么就好了。
◦状态转移： dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;
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最长上升子序列
◦之前的例子：
◦ A： {2 , 5 , 3 , 4 , 1 , 7 , 6}
◦ dp[1]=1;
◦ dp[2]=max{dp[1]}+1;
◦ dp[3]=max{dp[1]}+1;
◦ dp[4]=max{dp[1],dp[3]}+1;
时间复杂度 O（n^2）。
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最长上升子序列
•在这个问题的分析中，突破口？
• 1：设计出了dp[1..n]这个可以储存以i结尾的子序列中最优的答案，这个
状态表示。
• 2：通过分析问题成功能将当前状态的最优值能过由之前状态转移出来。
dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ，状态转移。
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时间复杂度
•套上之前的公式：状态数×状态转移复杂度。
•状态数： dp[1..n]，只有n个状态。
•状态转移： dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;
•由于你每次都需要枚举之前的所有数，所以单次转移是O（n）。
•所以总复杂度 O（n^2）。
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最长上升子序列核心代码
◦设dp[i]为以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度。
◦状态转移： dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;
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P1091合唱队形
◦ N 位同学站成一排，音乐老师要请其中的( N-K )位同学出列，使得剩下的
K 位同学排成合唱队形。
◦合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为 1,2,…，
他们的身高分别为 T_1,T_2,…,T_K
◦则他们的身高满足 T1<T2<T3..<Ti>T_i+1> ...>Tk
◦你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可
以使得剩下的同学排成合唱队形。
◦ n<=100000
P1091合唱队形
◦我们设f[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度。
◦我们设g[i]表示以i开头的最长下降子序列长度。
◦然后我们枚举哪一个为中心的最高点， f[i]+g[i]-1取最大值即可。
乘积最大
◦设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，
找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
◦有一个数字串： 312，当N=3， K=1时会有以下两种分法：
◦ 1) 3*12=36
◦ 2) 31*2=62
◦这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
◦现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
◦ N， K（6≤N≤80， 1≤K≤50）
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乘积最大
◦用 f[i][a] 表示前 i 位数包含 a 个乘号所能达到的最大乘积，我们只需要枚
举上一个乘号所在的位置即可。
◦将 j 从 a 到 i - 1      进行一次枚举，表示前 j 位中含有 a-1 个乘号，且最后一个乘号的位置在
j 处。那么当最后一个乘号在 j 处时最大值为前 j 位中含有
a - 1 个乘号的最大值乘上 j 处之后到i的数字。
◦因此得出了状态转移方程 f[i][a] = max(f[i][a] , f[j][a-1] * cut(j + 1,i))——
（cut(b + 1,i) 表示 b + 1 到 i 位数字）
◦然后再写个高精度即可。
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◦基本上一般简单的dp题，就是先想想状态，然后再看能不能转移，如果不能转移，换种设状态的方式，或者增加一下状态的维数，使得局面描述的更加详细。


2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 28
最长公共子序列
◦给定两个字符串S和T，长度分别为n和m，求解这两个字符串的最长公共子序列（
Longest Common Sequence）。
◦比如字符串S： BDCABA；字符串T： ABCBDAB
◦则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是： BCBA。
◦ n,m<=1000
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 29
最长公共子序列
◦我们设dp[i][j]表示， S串的第i个前缀和T串的第j个前缀的最长公共子序列。
◦分情况：
◦如果S[i]==T[j]， dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
◦如果S[i]!=T[j]， dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
◦最后答案就是dp[n][m]
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最长公共子序列
◦做法很简单，主要是思路从何而来？
◦可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：
◦ 1：最优子结构；（全局最优一定是子问题最优结合而得）
◦ 2：重叠子问题；（也就是如果是原先搜索的话要有不少冗余的计算，通过
dp我们每一个状态就计算一次，减少了复杂度，记忆话搜索本质是一样的）

◦本质来说我们就是要想办法把问题化小。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 31
最长公共子序列
◦对于dp[i][j]：
◦如果，两个串最后一个位置相同，这两个位置一定在公共子序列中。
◦那么我们只需要求出S的i-1前缀和T的j-1前缀的最长上升子序列就可以了，而这个就是把问题化小。

◦如果最后一个位置不相同，那么两个位置一定不能匹配，所以肯定是另外两种情况选最大的。

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记忆化搜索
2019/7/17Wednesday

清华大学——赵和旭 33

网格图路径计数
◦给出一个n*m的网格，每次只能向右或者向下走，求从(1,1)走到(n,m)的方案数，其中有些位置是不能走的。

◦ n,m<=1000
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 34
网格图路径计数
◦我们从另一个角度来思考这个问题。
◦我们用搜索算法来计算答案。
◦然而搜索的时间复杂度是指数级的。
◦观察一下：这是有些重复计算的。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 35
网格图路径计数
◦我们发现在这个dfs的过程中， dfs出来的值只与带入参数，也就是(x,y)有关，而不同的
(x,y)有N*M个，而我们之前搜索的问题在于有大量的重复计算，多次调用同一个
(x,y)，每次都从新计算。
◦有一个很直观的想法就是， 第一次调用的时候就把答案记下来，之后调用不重新算，直接返回之前已经计算出的答案即可。


——这就是记忆化搜索。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 36
滑雪
◦给定一个区域，由一个二维数组给出。数组的(i,j)代表点(i,j)的高度。我们要找一个最长的滑雪路径，注意滑雪只能从高往低处滑。下面是一个例子。


◦ 1 2 3 4 5
◦ 16 17 18 19 6
◦ 15 24 25 20 7
◦ 14 23 22 21 8
◦ 13 12 11 10 9
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 37
解释：一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为

24-17-16-1。当然
25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

滑雪
◦ dp[x][y]存储在当前位置下山的最大长度，它等于 它旁边的（上下左右）比它矮的山的
dp值加1 的最大值，即
◦ dp[x][y]=max(dp[x-1][y] , dp[x][y-1] , dp[x][y+1] , dp[x+1][y])+1。
◦要保证对应的高度小于H[x][y]才能取max。
◦ 1：一般递推式动态规划还要注意枚举状态的顺序，要保证算当前状态时子状态都已经算完了。

◦ 2：但是记忆化搜索不需要，因为记忆化搜索就是个搜索，只不过把重复的部分记下来了而已。我们不用像递推一样过于关注顺序，像搜索一样直接要求什么，调用什么就好。


2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 38
滑雪：代码实现
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 39
dfs函数
主函数部分
记忆化搜索
◦在有一些dp问题中，状态之间的转移顺序不是那么确定，并不能像一些简单问题一样写几个
for循环就解决了。
◦我们可以直接计算最终要求的状态，然后在求这个状态的过程中，要调用哪个子状态就直接调用即可，但是每一个状态调用一遍之后就存下来答案，下次计算的时候就直接取答案即可，就不需要从新再计算一遍。


◦虽然看上去每一次都计算不少，但是因为每一个状态都计算一次，所以均摊下来，复杂度还是状态数
*状态转移。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 40
拓扑图DP
2019/7/17Wednesday

清华大学——赵和旭 41

拓扑图的dp
◦拓扑图dp通常是在拓扑图上求关于所有路径的某种信息之和。当然这里的“和”的运算法则可以是加法或是取
max和min。或者其他定义的运算。
◦按拓扑序沿着有向边转移就可以了。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 42
BZOJ4562 食物链
◦给定n个点m条边的有向无环食物网，求其中有多少条极长食物链。
◦ n<=10^5， m<=2*10^5
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 43
BZOJ4562 食物链
◦拓扑图dp经典题
◦设f[u]为以节点u为终点的食物链数量。
◦按照拓扑序的顺序转移即可。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 44
食物链：代码实现
◦上面的式子是求一个点时，枚举其所有入边转移，具体写代码的时候，我们一般就只记出边再记录一个入边太麻烦了。所以我们一般不枚举入边，而是枚举出边从每个点往后更新，也就是在上面的式子中，我们对于每个





v向后进行更新，枚举v
出边指向的所有u点，然后f[u]+=f[v]。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 45
拓扑图dp
◦其实我们对于一般非有关期望和概率的dp，如果题目中每一个转移关系是双边的，那么如果我们把
dp的每一个状态记为一个点， dp状态之间关系构成的图就是一个拓扑图。

◦拓扑图dp实际上就是已经给了我们这个拓扑关系了，也就不需要我们自己找了，其实是更简单。

2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 46
背包DP模型
清华大学 赵和旭

背包dp
◦一般是给出一些“物品”，每个物品具有一些价值参数和花费参数，要求在满足花费限制下最大化价值或者方案数。

◦最简单几种类型以及模型
◦ 0/1背包
◦完全背包
◦多重背包
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 48
0/1背包问题
◦给出n个物品，每个物品有Vi的价值和Wi的费用，我们总共有m块钱，求最多能得到多少价值的物品。

◦ N<=10^3,m<=10^3
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 49
0/1背包问题代码实现
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 50
更简便更省空间更常用的写法
0/1背包问题
◦设dp[i][j]表示前i个物品，用了j的体积得到的最大的价值。
◦则dp[i][j]=max{dp[i-1][j] , dp[i-1][j-w[i]]+v[i]}
◦复杂度O(N^M)
◦如果要记录方案数呢？
◦如果要求输出方案呢？
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 51
完全背包
◦每一个物品可以选无限个。
◦ dp[i][j]=max{dp[i][j-w[i]],dp[i-1][j]}
◦在这里提一下一个贪心的预处理
◦对于所有 Vi≥Vj， Ci≤Cj 的物品 i，都可以完全扔掉
◦对于体积相同的物品只需要留下价值最大的物品
◦对于随即数据这个优化的力度非常大。
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 52
完全背包代码实现
◦同样也是两种
◦更简便更省空间更常用的写法
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 53
多重背包
◦对每一个物品，最多能用t[i]次。
◦最暴力的方法就是转移的时候枚举这个物品选几个即可。
◦ dp[i][j] = max{ dp[i-1][j-w[i]*k] + v[i]*k | k<=t[i]}
◦复杂度O( N*M*t[i] )
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 54
多重背包O( N*M*t[i] )代码实现
◦也是差不多的
◦另一种写法同样简单一些
2019/7/17 Wednesday 清华大学 赵和旭 55
序列上的DP
2019/7/17Wednesday

清华大学——赵和旭 56

区间上的dp状态设计最基本的形式
◦ F[i]表示以i结尾的最优值或方案数。
◦ F[i][k]表示以i结尾附加信息为k的最优值或方案数。
◦转移的话往往是枚举上一个断点。
◦ F[i]=max { F[j]+ w(j+1,i) | j是一个满足转移条件的断点}。
◦这是最简单的一类序列上的dp。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 57
bzoj1296 粉刷匠
◦有n条木板要被粉刷，每条木板分为m个格子，每个格子需要被刷成蓝色或红色。

◦每次粉刷可以在一条木板上给连续的一段格子刷上相同的颜色。每个格子最多被刷一次。

◦问若只能刷k次，最多正确粉刷多少格子。
◦ n,m<=50， k<=2500
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 58
bzoj1296
◦如果只有一条木板，那么设g[i][j]表示前i个格子刷j次的最多正确格子
◦ g[i][j]=max{ g[k][j-1]+w(k+1,i) | k<i }
◦ w(x,y)为第x到第y个格子的最多同色格子数，哪个颜色出现的多刷哪个，直接记一个前缀和即可。

◦有多条木板，设f[i][j]表示前i个木板刷j次的最大答案。
◦ f[i][j]=Max{ f[i-1][k]+gi[m][j-k] | k<=j }
◦其实像这种一般的dp，就是把影响答案的信息用多维状态来表示，什么必要什么就放在状态里。

2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 59
区间DP
2019/7/17Wednesday

清华大学——赵和旭 60

区间dp状态设计的一般形式
◦区间dp一般就是设dp[i][j]表示区间[i,j]所能形成的最优答案或者方案数。
◦或者像序列一样，多加几维表示附加的信息。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 61
最简单的区间dp：合并石子
◦有n堆石子，每次只能合并相邻的两堆石子，并且消耗相邻两堆石子个数的体力值，问最少消耗多少体力值将
n堆石子合并为1堆。
◦ N<=100
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 62
合并石子
◦ dp[i][j]表示将区间[i,j]这段区间内的石子合并为1堆的最小体力值。
◦答案就是dp[1][n]。
◦转移，考虑对于区间[i,j]它一定是由两段区间[i,k]， [k+1,j]合并成的,所以转移就考虑枚举
[i,j]区间内的一个分割点k转移即可。
◦ dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j] | i<=k<j)+sum[i,j]。
2019/7/17 Wednesday 清华大学——赵和旭 63
一定要注意区间dp的枚举顺序！