青蛙跳台阶

本文抄于：http://blog.csdn.net/xiaolewennofollow/article/details/45271145

【题意描述】

青蛙跳台阶问题，一只青蛙要跳上n层高的台阶，一次能跳一级，也可以跳两级，请问这只青蛙有多少种跳上这个n层高台阶的方法？

【解法 I：递归】

 思路分析：假设：一节台阶，有1中跳法

                            两节台阶，有2中跳法

                            三节台阶，有3中跳法

                            四节台阶，有5中跳法

                            ……

                            N节台阶，N-1节台阶和N-2节台阶跳法的总和，显然是斐波那契数列。

另一种思路：设青蛙跳上n级台阶有f(n)种方法，把这n种方法分为两大类，第一种最后一次跳了一级台阶，这类方法共有f(n-1)种，第二种最后一次跳了两级台阶，这种方法共有f(n-2)种，则得出递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2),显然，f(1)=1,f(2)=2。

递推公式：

代码实现如下：（* 这种方法虽然代码简单，但效率低，会超出时间上限*）

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if n==0 or n==1 or n==2:
            return n
        return self.climbStairs(n-1)+self.climbStairs(n-2)

【解法 II：循环】

原理与上面的一样，用循环代替递归

代码实现如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        if n==0 or n==1 or n==2:
            return n
        one, two =1, 2
        for i in range(two+1, n+1):
            result = one+two
            one, two = two, result
        return result

【解法 III：建立简单数学模型，利用组合数公式】(* 最好的方法 *）

思路分析：设青蛙跳上这n级台阶一共跳了z次，其中有x次是一次跳了两级，y次是一次跳了一级，则有z=x+y ,2x+y=n,对一个固定的x，利用组合可求出跳上这n级台阶的方法共有

 种方法 。又因为 x在区间[0,n/2]内，所以我们只需要遍历这个区间内所有的整数，求出每个x对应的组合数累加到最后的结果即可。

代码实现如下：

class Solution:
    # @param {integer} n
    # @return {integer}
    def climbStairs(self, n):
        def fact(n):
            result=1
            for i in range(1,n+1):
                result*=i
            return result
        total=0
        for i in range(n/2+1):
            total+=fact(i+n-2*i)/fact(i)/fact(n-2*i)
        return total

自我总结：

第三种方法给了我很大的震撼，从没想过算法要用这种方式找到答案。主要也是自己的技术不精湛。努力加油吧。