Bzoj 2839 集合计数 题解

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得

它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

     对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

　　一开始想到的状态数组是f[i]，代表我们取交集共选了i个数，但是转移还要去枚举有几个集合，好像挺不靠谱的……

　　一看正解，连状态数组都不用，让我想到了10.9考试 第一题建造城市的打法。

　　我们同样，先从n个数里提前选出k个数，然后去枚举多出来的集合的交集至少是多少，仍然奇减偶加，假设我们当前要求的是交集多出至少为x的方案数，那么就是：

　　　　(2^(2^(n-k-x))-1)*C(n-k,x)。

　　在(2^(2^(n-k-x))-1)即表示在除去k+x个数后的2^(n-k-x)集合中选集合的方案数，由于我们不能一个都不选，所以还得减去全部不选的情况。C(n-k,x)就是在剩下n-k个数中选出x个数的方案数，最后在将总和乘以在n个数中选k个数的方案数。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#define N 1000005
using namespace std;
int n,k,p=1000000007;
long long jc[N],ni[N],xp[N];
long long ksm(long long x,long long z)
{
    long long ans=1;
    while(z>0)
    {
        if(z&1)
        {
            ans*=x;
            ans%=p;
        }   
        x*=x;x%=p;
        z>>=1;
    }   
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    jc[0]=1;xp[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        jc[i]=(jc[i-1]*i)%p;
        xp[i]=(xp[i-1]*2)%p;
    }
    ni[n]=ksm(jc[n],p-2);
    for(int i=n-1;i>=1;i--)ni[i]=(ni[i+1]*(i+1))%p;
    ni[0]=1;long long now=2;
    long long ans=0;
    for(int i=n-k;i>=0;i--)
    {
        long long tmp=((((now-1)*jc[n-k]%p)*ni[i]%p)*ni[n-k-i])%p;
        if(i&1)ans=(ans-tmp+p)%p;
        else
        {
            ans+=tmp;
            ans%=p;
        }
        now*=now;
        now%=p;
    }
    ans*=((jc[n]*ni[k])%p*ni[n-k])%p;
    ans%=p;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}