线段树

线段树

1：概念：一看名字就知道是一棵树，但是这个树为什么有线段这两个字呢，原因就是他的思想——分治。

且它的结构大体上相似于一个2叉树。且每个子节点都相当于一个子区间，且父节点是子节点信息的总和，所以才叫线段树，如图这就是一个线段树。

emmmm，图是从一个大佬从网上偷的那个图偷的。

2：功能及特点：

光知道了它的结构还不行

因为线段树是二叉树，所以每个父亲节点的编号i ,他的两个儿子的编号分别是2ⁱ和2ⁱ⁺¹，如果当前节点为root，那么可以用位运算来取他的左右儿子分别是ans[root<<1],ans[root<<1|1];

就可以#define 一下

#define ls left,mid,root<<1
#define rs mid+1,right,root<<1|1

这个就可以在以后的函数中使用了。

先说一下所有变量的名称，l,r是指要修改的区间的左右端点，相反的left ,right则是当前的左右端点，ans数组是你输入的数据，下标则是在树中的位置。在下面的建树操作中我们就可以看见他是左区间等于右区间（即为子节点的时候）我们才输入他且输入的下标是他当前的节点下标

在树中的位置则用root来表示当前节点。lazy数组则是线段树的特点，正是有了它，才能加快速度。

l,r,left,right,ans[maxn<<2],lazy[maxn<<2],root;

接下来便是更新操作，看下面的操作之前，你要先理解透彻递归的含义——递便是不断向下调用自己，归则是把调用自己的值回溯上来。

所以你不能傻傻的建树，还需要回溯上来，就需要pushup—更新

il void pushup(ll root)//向上更新
{
  ans[root]=ans[root<<1]+ans[root<<1|1];
}

使用一棵线段树，首先要学会建树，建树就可以先从整棵树的根结点开始，向下二分，不断建树，且需要向上更新，如果你不懂的话，你就想这是一个DFS如果没到终点你就二分，到了终点你就记录每一个最低点的子节点得值，并回溯，因为根节点肯定是不断变化的，且应是先建根节点，再建子节点，再给子结点赋值，所以再将根节点的值更新，如果你不更新的话，它的根结点就加不上子节点了。

void build(ll left,ll right,ll root)
{
  if(left==right)
  {
    scanf("%lld",&ans[root]);
    return;
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  build(ls);/二分
  build(rs);
  pushup(root);//回溯过程
}

1：区间修改（包括单点修改）终于到正题了。

这就是我们要运用线段树的主要原因，因为他快，并且支持许许多多的操作。

 那么对于区间操作，我们考虑引入一个名叫“lazy tag ”（懒标记）的东西——之所以称其“lazy ”，因为他真的很适合懒人使用。（单点修改不需要使用lazy tag）

假设现在老师要检查背诵了，你还不会背。

但是有一个设定，就是老师会告诉你你需不需要背。就像告诉你你需不需要被修改一样。

如果你不需要背，那你就可以不用背，这样你就可以节约时间去干别的事去了。

lazy标记便有这样一个功能。

区间修改便可以想象成一个或多个根节点向子节点传递lazy tag，既然已经传递了，那么本身肯定就一定加上了，本身的标记就可以清为零。

所以我们就可以写一个下传函数——pushdown

void pushdown(ll root,ll mid,ll left,ll right)// 下传。
{
    if(lazy[root])
    {
        lazy[root<<1]+=lazy[root];
        lazy[root<<1|1]+=lazy[root];
        ans[root<<1]+=(mid-left+1)*lazy[root];
        ans[root<<1|1]+=(right-mid)*lazy[root];
        lazy[root]=0;
    }
}

有了这个函数，线段树的所有最基本的操作就完成了。

到这我们就需要复习一下以前的变量，不然就会晕了。

l，r是要修改和查询的区间的端点。

如果当前区间被l，r包含。

那么就可以把当前节点的所有值都加上要增加的值，因为这个节点的本身的区间都要修改，所以就都加上就好了。

加的时候一定要将要增加的值乘上他的子节点的个数，因为他要加上所有节点的数。

如果没有完全包含，一定要先把它的标记下传，说明，下面的人需要背课文了（即下面的值需要修改了）

且那要修改的区间肯定有一段在左边或在右边，或两边都有。

就分别修改。

还要记住，更重要的是修改完之后一定要更新——pushup

void update(ll l,ll r,ll add,ll left,ll right,ll root)
{
  if(l<=left&&r>=right)
  {
    lazy[root]+=add;
    ans[root]+=add*(right-left+1);
    return;
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  pushdown(root,mid,left,right);
  if(l<=mid)
  update(l,r,add,ls);
  if(r>=mid+1)
  update(l,r,add,rs);
  pushup(root);
}

1：区间查询

其实这个跟区间修改差不多，就是把修改值变成了查询。

这里多出了一个变量——res，就是要返回的答案的值。

先判断是否包含，因为当前区间肯定是肯定是从大到小的，因此不存在要查询的区间一开始就包含当前区间，就不存在返回的res比实际的值小的情况。

ll query(ll l,ll r,ll left,ll right,ll root)//区间查询，l，r是要查询的区间，left，right，是当前区间
{
  ll res=0;
  if(l<=left&&r>=right)
  {
    return ans[root];
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  pushdown(root,mid,left,right);
  if(l<=mid)
  res+=query(l,r,ls);
  if(r>=mid+1)
  res+=query(l,r,rs);
  return res;
}

到此，线段树的基本操作就全部结束了

上标程——luogu  P[3372]

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ls left,mid,root<<1
#define rs mid+1,right,root<<1|1
#define il inline
using namespace std;
const int maxn=100100;
ll n,m,ans[maxn*4],lazy[maxn*4];
il void pushup(ll root)//向上更新
{
  ans[root]=ans[root<<1]+ans[root<<1|1];
}
void build(ll left,ll right,ll root)
{
  if(left==right)
  {
    scanf("%lld",&ans[root]);
    return;
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  build(ls);
  build(rs);
  pushup(root);
}
void pushdown(ll root,ll mid,ll left,ll right)
{
  if(lazy[root])
  {
    lazy[root<<1]+=lazy[root];
    lazy[root<<1|1]+=lazy[root];
    ans[root<<1]+=(mid-left+1)*lazy[root];
    ans[root<<1|1]+=(right-mid)*lazy[root];
    lazy[root]=0;
  }
}
void update(ll l,ll r,ll add,ll left,ll right,ll root)
{
  if(l<=left&&r>=right)
  {
    lazy[root]+=add;
    ans[root]+=add*(right-left+1);
    return;
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  pushdown(root,mid,left,right);
  if(l<=mid)
  update(l,r,add,ls);
  if(r>=mid+1)
  update(l,r,add,rs);
  pushup(root);
}
ll query(ll l,ll r,ll left,ll right,ll root)//区间查询，l，r是要查询的区间，left，right，是当前区间
{
  ll res=0;
  if(l<=left&&r>=right)
  {
    return ans[root];
  }
  ll mid=(left+right)>>1;
  pushdown(root,mid,left,right);
  if(l<=mid)
  res+=query(l,r,ls);
  if(r>=mid+1)
  res+=query(l,r,rs);
  return res;
}
int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&m);
  ll p,x,y,k;
  build(1,n,1);
  while(m--)
  {
    scanf("%lld",&p);
    if(p==1)
    {
      scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
      update(x,y,k,1,n,1);
    }
    else
    {
      scanf("%lld%lld",&x,&y);
      printf("%lld
",query(x,y,1,n,1));
    }
  }
  return 0;
}