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  • 什么是凸函数及如何判断一个函数是否是凸函数

    一、什么是凸函数

     对于一元函数f(xf(x),如果对于任意tϵ[0,1]tϵ[0,1]均满足:f(tx1+(1t)x2)tf(x1)+(1t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)f(x)为凸函数(convex function)

     如果对于任意tϵ(0,1)tϵ(0,1)均满足:f(tx1+(1t)x2)<tf(x1)+(1t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2),则称f(x)f(x)为严格凸函数(convex function)

     我们可以从几何上直观地理解凸函数的特点,凸函数的割线在函数曲线的上方,如图1所示:

     上面的公式,完全可以推广到多元函数。在数据科学的模型求解中,如果优化的目标函数是凸函数,则局部极小值就是全局最小值。这也意味着我们求得的模型是全局最优的,不会陷入到局部最优值。例如支持向量机的目标函数||w||2/2||w||2/2就是一个凸函数。

    二、如何来判断一个函数是否是凸函数呢?

     对于一元函数f(x)f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)0f″(x)≥0 ,则f(x)f(x)是凸函数

     对于多元函数f(X)f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵,则是f(X)f(X)凸函数

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