最优二叉树(赫夫曼树)

赫夫曼树的介绍(写的不好地方大佬请指教)

最优二叉树又称哈夫曼树，是带权路径最短的二叉树。根据节点的个数，权值的不同，最优二叉树的形状也不同。

图 6-34 是 3 棵最优二叉树的例子，它们共同的特点是带权节点都是叶子节点，权值越小，就离根节点也远，那么我们是如何构建这颗最优二叉树

步骤如下：

那如何创建这一个哈夫曼树呢？(百度百科)

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；

(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

 如：对 下图中的六个带权叶子结点来构造一棵哈夫曼树，步骤如下：

当建立好哈夫曼树，我们要将其进行编码，要将权值表示改为0,1表示，叶子节点的左边改为0，右边改为1

这样子比较方便在网络上传输，因为哈夫曼树的研究目的就是为了解决早期远距离通信(电报)的数据传输的优化问题。

 

接下来我们来分析一下，这样做对数据的优化体现在哪里？

例如，如上图。6-12-9，

假如们要传输一端报文：BADCADFEED,那么我们可以用相应的二进制表示

字母	a	b	c	d	e	f
二进制字符	000	001	010	011	100	101

 这样真正的传输的数据编码二进制后就是：001000011010000011101100100011（共30个字符），可见如果传输数据过大，这个报文的编码也就越大了。

但是如果我们按照上面的哈夫曼树进行编码的话

字母	a	b	c	d	e	f
二进制字符	01	1001	101	00	11	1000

新编码后的数据是：1001010010101001000111100(共25个字符)

大约节约了17%的存储或传输文本，随着字符的增加和多字符权重的不同，这种压缩会更加突显出来优势。

0和1是比较容易混淆的，为了设计出来长度不相等的编码，我们就必须有一种规定，就是任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码被称为前缀编码。

我们可以发现通过哈夫曼编码形成的每个节点的编码例如：1000,1000混淆的10,100的类似的编码了。

当接收者收到了这个已经经过编码的二进制数后，我们要如何进行解码，才能看到发送者真正想发给接收者的消息呢？

解码的时候，必须用到双方约定好的哈夫曼树：

从根节点开始遍历，就可以知道A是01，E是11,B是 1001 ，其余的节点信息也可以相应的得到，从而成功解码。

 哈夫曼树的节点存储结构

//哈夫曼树结构
; typedef struct{
    unsigned int weight;          //权重
    unsigned int parent, lchild, rchild;  //树的双亲节点，和左右孩子

}HTNode, *HuffmanTree;

typedef char**  HuffmanCode;

基本思路就是：

1、首先我们要建立一个哈夫曼树。

2、这个哈夫曼树有的特点在上面有介绍。

3、对哈夫曼树进行0,1编码

4，最后打印出已经编码完成的哈夫曼树。

里面最难的两部步应该是建树，解码输出(可能我比较笨把，搞了二天才搞明白)

1、建树，根据节点的权重建立，每次从的序列中比较出两个最小的权重，建立出一颗树，然后再从剩余的节点中继续抽取节点权重最小的节点，继续建树，这边我采用的是迭代方式；

2、解码输出，采用的是叶子节点逆序遍历到根节点，将0,1存储到字符数组里面，然后再将数组输出。

里面是具体实现的代码，里面也有注释

//函数声明
int Min(HuffmanTree T, int i); //求i个节点中的最小权重的序列号，并返回
void Select(HuffmanTree T, int i, int& s1, int& s2); //从两个最小权重中选取最小的(左边)给s1，右边的给s2
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n);//哈夫曼编码与解码

函数的具体实现算法1：

//返回i个节点中权值最小的树的根节点的序号，供select()调用
int Min(HuffmanTree T, int i){
    int j, flag;
    unsigned int k = UINT_MAX;  //%d-->UINT_MAX = -1,%u--->非常大的数
    for (j = 1; j <= i; j++)
        if (T[j].weight < k && T[j].parent == 0)
            k = T[j].weight, flag = j;                  //
    T[flag].parent = 1;    //将parent标志为1避免二次查找

    return flag;   //返回节点的下标
}

void Select(HuffmanTree T, int i,int& s1,int& s2){
    //在i个节点中选取2个权值最小的树的根节点序号，s1为序号较小的那个
    int j;
    s1 = Min(T,i);
    s2 = Min(T,i);
    if (s1 > s2){
        j = s1;
        s1 = s2;
        s2 = j;
    }
}

解码算法1(从根节点遍历赫夫曼树逆序输出)：

//HuffmanCode代表的树解码二进制值
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n){
    //w存放n个字符的权值(均>0),构造哈夫曼树HT,并求出n个字符的哈夫曼编码HC
    int m, i, s1, s2, start;
    unsigned c, f;
    char* cd;
    //分配存储空间
    HuffmanTree p;
    if (n <= 1)
        return;
    //n个字符(叶子节点)有2n-1个树节点，所以树节点m
    m = 2 * n - 1;
    HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode));  //0号元素未用
    //这一步是给哈夫曼树的叶子节点初始化
    for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++p, ++w)
    {
        (*p).weight = *w;
        (*p).lchild = 0;
        (*p).rchild = 0;
        (*p).parent = 0;
    }
    //这一步是给哈夫曼树的非叶子节点初始化
    for (; i <= m; ++i, ++p){
        (*p).parent = 0;
    }
    /************************************************************************/
    /* 做完准备工作后 ，开始建立哈夫曼树
    /************************************************************************/
    for (i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        //在HT[1~i-1]中选择parent=0且weigh最小的节点，其序号分别为s1,s2
        Select(HT, i - 1, s1, s2);  //传引用
        HT[s1].parent = HT[s2].parent = i;
        HT[i].lchild = s1;
        HT[i].rchild = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
    }
    /************************************************************************/
    /* 从叶子到根逆求每个叶子节点的哈夫曼编码                                          */
    /************************************************************************/
    //分配n个字符编码的头指针向量，（[0]不用）
    HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1)*sizeof(char*));
    cd = (char*)malloc(n*sizeof(char));   //分配求编码的工作空间
    cd[n - 1] = ''; //结束符
    for (i = 1; i <= n; i++)  //每个节点的遍历
    {
        start = n - 1; c = i; f = HT[i].parent; //c表示当前节点的下标
        while (f != 0){       //父节点不为0，即不为根节点
            --start;
            if (HT[i].lchild == c)cd[start] = '0';
            else
                cd[start] = '1';
            c = f; f = HT[f].parent;  //迭代向上回溯
        }
        HC[i] = (char*)malloc((n - start)*sizeof(char));  //生成一个块内存存储字符
        //为第i个字符编码分配空间
        strcpy(HC[i], &cd[start]);  //从cd赋值字符串到cd
    }
    free(cd);  //释放资源
}

 这里面有一个地方钻牛角尖了，卡了一段时间，那就是我们输入的权重是存储在w这块内存里面的，并通过权重建立起来的树，于是HT内存存储的第一个节点也就是我们输入权重所对应的第一个节点。于是我们开始逆序输出解码时，所对应的每个节点的解码与权重所对应的一一对应。

解码算法2(从根节点正序遍历赫夫曼树输出)：

//利用无栈递归的思想
void HuffmanCoding2(HuffmanTree &HT, HuffmanCode &HC, int* weight, int n){
    int m, i, s1, s2;
    unsigned c, cdlen;
    HuffmanTree p;
    char* cd;  //编码空间

    if (n <= 1)
        return;
    m = 2 * n - 1;
    HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode)); //1开始到m+1//总共2n-1
    for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++weight, ++p){
//         HT[i].weight = *weight;
//         HT[i].parent = 0;
//         HT[i].lchild = 0;
//         HT[i].rchild = 0;
        (*p).weight = *weight;
        (*p).parent = 0;
        (*p).lchild = 0;
        (*p).rchild = 0; 
    }
    for (; i <= m; ++i,++p)
        (*p).parent = 0;
    /************************************************************************/
    /* 将树的叶子节点和即将存储的双亲节点初始化后，开始建立赫夫曼树                                                                     */
    /************************************************************************/

    for (i = n + 1; i <= m; ++i)  //i++ --->++i
    {
        Select(HT, i - 1, s1, s2);
        HT[s1].parent = HT[s2].parent=i;
        HT[i].lchild = s1;
        HT[i].rchild = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
    }

    c = m;  //c = 2*n-1
    HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1)*sizeof(char*));
    cd = (char*)malloc(n*sizeof(char));
    cdlen = 0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
        HT[i].weight = 0;              //将所有的权重置0

    //这是一个迭代的过程
    while (c){
        if (HT[c].weight == 0){
            //向左
            HT[c].weight = 1;
            if (HT[c].lchild != 0){
                c = HT[c].lchild;
                cd[cdlen++] = '0';
            }
            else if (HT[c].rchild == 0)
            {
                cd[cdlen] = '';
                HC[c] = (char*)malloc(sizeof(char)*(cdlen + 1));
                strcpy(HC[c], cd);  //复制编码串            
            }
        }
        else if (HT[c].weight == 1)
        {
            //向右遍历
            HT[c].weight = 2;
            if (HT[c].rchild != 0){ //存在右孩子
                c = HT[c].rchild;
                cd[cdlen++] = '1';
            }
        }
        else{   //当HT[c].weight = 2;
            HT[c].weight = 0;
            c = HT[c].parent;  //退回到父节点
            cdlen--;  //编码的长度-1
        }
    }
}

主函数具体实现：

int main(){

    HuffmanTree HT;
    HuffmanCode HC;
    
    int *w, n, i;
    printf("请输入权值的个数(>1):");
    scanf_s("%d",&n);

    w = (int*)malloc(n*sizeof(int));
    printf("请依次输入%d个权值(整形):
",n);

    for (i = 0; i <= n - 1;i++)
    {
        scanf_s("%d",w+i);
    }
     HuffmanCoding(HT, HC, w, n);
　　　　
    for (i = 1; i <= n;i++)
    {
        puts(HC[i]);
    }
    return 0;
}

全部代码实现

#include<string.h>
#include<malloc.h>  //malloc()等
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<ctype.h>
#include<limits.h>
#include<iostream>

#define TRUE 1
#define FALSE 1
#define OK 1
#define ERROR 1
#define INFEASIBLE -1

typedef int Status;
typedef int Boolean；
/************************************************************************/
/* 最优二叉树简称：哈夫曼树                                                                     */
/************************************************************************/
//哈夫曼树结构
; typedef struct{
    unsigned int weight;          //权重
    unsigned int parent, lchild, rchild;  //树的双亲节点，和左右孩子

}HTNode, *HuffmanTree;

typedef char**  HuffmanCode;


//返回i个节点中权值最小的树的根节点的序号，供select()调用
int Min(HuffmanTree T, int i){
    int j, flag;
    unsigned int k = UINT_MAX;  //%d-->UINT_MAX = -1,%u--->非常大的数
    for (j = 1; j <= i; j++)
        if (T[j].weight < k && T[j].parent == 0)
            k = T[j].weight, flag = j;                  //
    T[flag].parent = 1;    //将parent标志为1避免二次查找

    return flag;   //返回
}

void Select(HuffmanTree T, int i,int& s1,int& s2){
    //在i个节点中选取2个权值最小的树的根节点序号，s1为序号较小的那个
    int j;
    s1 = Min(T,i);
    s2 = Min(T,i);
    if (s1 > s2){
        j = s1;
        s1 = s2;
        s2 = j;
    }
}

//HuffmanCode代表的树解码二进制值
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n){
    //w存放n个字符的权值(均>0),构造哈夫曼树HT,并求出n个字符的哈夫曼编码HC
    int m, i, s1, s2, start;
    unsigned c, f;
    char* cd;   
    //分配存储空间
    HuffmanTree p;
    if (n <=1)
        return;
    //n个字符(叶子节点)有2n-1个树节点，所以树节点m
    m = 2 * n - 1;
    HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode));  //0号元素未用
    //这一步是给哈夫曼树的叶子节点初始化
    for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++p,++w)
    {
        (*p).weight = *w;
        (*p).lchild = 0;
        (*p).rchild = 0;
        (*p).parent = 0;
    }
    //这一步是给哈夫曼树的非叶子节点初始化
    for (; i <= m; ++i, ++p){
        (*p).parent = 0;
    }
    /************************************************************************/
    /* 做完准备工作后 ，开始建立哈夫曼树                                                               
    /************************************************************************/
    for (i = n + 1; i <= m; i++)
    {
        //在HT[1~i-1]中选择parent=0且weigh最小的节点，其序号分别为s1,s2
        Select(HT, i - 1, s1, s2);  //传引用
        HT[s1].parent = HT[s2].parent= i;
        HT[i].lchild = s1;
        HT[i].rchild = s2;
        HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
    }
    /************************************************************************/
    /* 从叶子到根逆求每个叶子节点的哈夫曼编码                                          */
    /************************************************************************/
    //分配n个字符编码的头指针向量，（[0]不用）
    HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1)*sizeof(char*));  
    cd = (char*)malloc(n*sizeof(char));   //分配求编码的工作空间
    cd[n - 1] = ''; //结束符
    for (i = 1; i <= n; i++)  //每个节点的遍历
    {
        start = n - 1;
        for (c = i, f = HT[i].parent; f != 0; c = f,f = HT[f].parent){ //每个节点到根节点的遍历
            //从叶子节点到根节点的逆序编码
            if (HT[f].lchild == c)
                cd[--start] = '0';
            else
                cd[--start] = '1';
        }
        HC[i] = (char*)malloc((n - start)*sizeof(char));  //生成一个块内存存储字符
        //为第i个字符编码分配空间
        strcpy(HC[i], &cd[start]);  //从cd赋值字符串到cd
    }
    free(cd);  //释放资源
}

//函数声明
int Min(HuffmanTree T, int i); //求i个节点中的最小权重的序列号，并返回
void Select(HuffmanTree T, int i, int& s1, int& s2); //从两个最小权重中选取最小的(左边)给s1，右边的给s2
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT, HuffmanCode&HC, int* w, int n);//哈夫曼编码与解码

int main(){

    HuffmanTree HT;
    HuffmanCode HC;
    
    int *w, n, i;
    printf("请输入权值的个数(>1):");
    scanf_s("%d",&n);

    w = (int*)malloc(n*sizeof(int));
    printf("请依次输入%d个权值(整形):
",n);

    for (i = 0; i <= n - 1;i++)
    {
        scanf_s("%d",w+i);
    }
     HuffmanCoding(HT, HC, w, n);

    for (i = 1; i <= n;i++)
    {
        puts(HC[i]);
    }
    return 0;
}

问题

参考资料：

《大话数据结构》

《数据结构》算法实现与解析  高一凡著

《数据结构》严奶奶 

https://www.bilibili.com/video/av35817244?from=search&seid=10785677008277539439