蓝桥 算法训练 最短路

问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

dfs只能处理两点之间的最短路径，且可能超时，bfs只能处理所有边的权值一样的

Floyd算法适合稠密图，而且可以解决负权边，但是时间复杂度高

Dijkstra算法适合稠密图，但是不能解决负权边

Forf算法适合稀疏图，可以解决负权边

dlikstra又不能处理带负权的问题

dlikstra算法

#include<iostream>
#define inf 0x333f
#define maxn 200
using namespace std;
int main()
{
    int dis[maxn],book[maxn],e[maxn][maxn],n,m,a,b,v,min,flag;//n表示顶点，m表示边 
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j)
            e[i][j]=0;
            else
            e[i][j]=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b>>v;
        e[a][b]=v;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=e[1][i];
     } 
         for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        book[i]=0;
     } 
     book[1]=1;
     //找到离单源最短的顶点
     min=inf;
     for(int i=1;i<n;i++)
     {
         min=inf;
         for(int j=1;j<=n;j++)
         {
             if(book[j]==0&&dis[j]<min)
             {
                 min=dis[j];
                 flag=j;
             }
         }
         book[flag]=1;
         for(int k=1;k<=n;k++)
         {
             if(e[flag][k]<inf)
             {
                 if(dis[k]>dis[flag]+e[flag][k])
                 dis[k]=dis[flag]+e[flag][k];
             }
         }
     }
     for(int i=2;i<=n;i++)
     cout<<dis[i]<<endl;
     return 0;
 }

使用Floyd算法再使用邻接矩阵存储数据

会即超时又超内存

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x333f
using namespace std;
int n,m,a[2000][2000],v0,v1,v;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            a[i][j]=inf; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i][i]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>v0>>v1>>v;
        a[v0][v1]=v;
    }
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(a[i][k]<inf&&a[k][j]<inf&&a[i][k]+a[k][j]<a[i][j])
                a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];
            }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    cout<<a[1][i]<<endl;
    return 0;
}

且看bellman-ford算法加邻接表大显身手

#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=2000; 
const int maxn=20000;
int main()
{
    int n,m,u[maxn],v[maxn],w[maxn],dis[maxn],flag;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        dis[i]=inf;
    dis[1]=0;
    for(int k=1;k<=n-1;k++)
    {
    flag=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            
            if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]);
            {
                dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];
                flag=1;
            }
            
        }
        if(flag)
        break;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    cout<<dis[i]<<endl;
    return 0;
}

。。。。。。

再见

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来个带队列优化的bellman-ford算法(SPFA-shortest  path faster algorithm)

#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string.h>
#define MAX 20000 + 10
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
typedef struct {
    int v;
    int l;
} Edge;
vector<Edge> MGraph[MAX];
int dist[MAX];
int visit[MAX];
int inq[MAX];
int num[MAX];
bool SPFA( int s, int n ) {
    // 初始化部分
    memset( inq, false, sizeof( inq ) );
    memset( num, 0, sizeof( num ) );
    fill( dist, dist + MAX, INF );
    // 源点入队部分
    queue<int> Q;
    Q.push( s );    // 源点入队
    inq[s] = true;  // 源点已入队
    num[s]++;       // 源点入队次数加1
    dist[s] = 0;
    // 主体部分
    while( !Q.empty() ) {
        int u = Q.front();  // 队首顶点编号为u
        Q.pop();
        inq[u] = false;     // 设置u不在队列中
        // 遍历u的所有邻接边v
        for( int j = 0; j < MGraph[u].size(); j++ ) {
            int v = MGraph[u][j].v;
            int dis = MGraph[u][j].l;
            // 松弛操作
            if( dist[u] + dis < dist[v] ) {
                dist[v] = dist[u] + dis;
                if( !inq[v] ) { // 如果v不在队列中
                    Q.push( v );    // v入队
                    inq[v] = true;  // 设置v为在队列中
                    num[v]++;       // v的入队次数加1
                    if( num[v] >= n ) return false; // 有可达负环
                }
            }
        }
    }
    return true;    // 无可达负环
} 
int main() {
    int n, m;
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    int a, b, l;
    for( int i = 0; i < m; i++ ) {
        scanf( "%d%d%d", &a, &b, &l );
        a--;
        b--;
        Edge e;
        e.v = b;
        e.l = l;
        MGraph[a].push_back( e );
    }
    SPFA( 0, n );
    for( int i = 1; i < n; i++ ) {
        printf( "%d
", dist[i] );
    }
    return 0;
}