#2019121200026 最大子序列和

题目描述

给定一段序列，从(a[1])到(a[n])，求满足条件的(1leq ileq jleq n)，使得(sumlimits^j_{k=i}a[k])最大.

题解

1

最简单最容易想到的就是根据定义来枚举。
枚举上下界({(i,j) | 1leq ileq jleq n})，维护一个(max)值即可。
其中枚举上下界的时间复杂度为(O(n^2))，求区间和的复杂度为(O(n))，所以总时间复杂度为(O(n^3))。

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    for ( int j = i ; j <= n ; j++ )
        ans = max(ans,accumulate(a+i,a+j+1,0));

2

其实就是第一种方法的优化。
这里有个很容易想到的优化，即预处理出前缀和(sum[i]=sumlimits_{h=1}^ia[h])，算区间和的时候即可将求区间和的复杂度降到(O(1))，枚举上下界的复杂度不变，所以总时间复杂度为(O(n^2))。

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    for ( int j = i ; j <= n ; j++ )
        ans = max(ans,sum[j]-sum[i-1]);

3

可以利用动态规划的思维来继续优化，得到一个线性的算法，也是最大连续区间和的标准算法
定义(maxn[i])为以(i)为结尾的最大连续和，则很容易找到递推关系：(maxn[i]=max {0,maxn[i-1]}+a[i])。
所以只需要扫描一遍即可，总时间复杂度为(O(n))。

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
    last = max(0,last)+a[i];
    ans = max(ans,last);
}

4

同样用到类似的思维。
首先也需要预处理出前缀和(sum[i])，可以推出(ans=max {sum[i]-min {sum[j]} | 0leq j<ileq n })。
而最小前缀和可以动态维护，所以总时间复杂度为(O(n))。

for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
{
    ans = max(ans,sum[i]-minn);
    minn = min(minn,sum[i]);
}