20200912 day7 图论复习（一）

1 图论基础

1. 有向图(G)中，(V)表示顶点，(E)表示边。
2. 无向图中不允许存在自环。
3. 无向图中，定点的度是指关联于该顶点的边的数目。
4. 有向图中，顶点的出度是离开该定点的边的数目。出度是指进入该顶点的边的数目。度是入度与出度之和。

1.1 邻接矩阵

(|E|=n)的邻接矩阵是一个$n imes n $的矩阵。无权图中用1表示邻接，0表示不邻接。
带权图中数字表示边的权重，无穷（有时用0）表示两点不邻接。
无向图的邻接矩阵是关于对角线对称的。

1.2 链式前向星

空间复杂度(O(E))

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 5005
#define M 20005
using namespace std;
int cnt=0,head[N]; 
struct node{
	int to,next,val;
}edge[N];
void add(int x,int y,int val1){
	edge[++cnt].next=head[x];
	edge[cnt].to=y;
	edge[cnt].val=val1;
	head[x]=cnt;
	
}
int main(){
	
}
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
	int to1=edge[i].to;
	//do something
}

2 最小生成树

2.0 并查集

模板 LGP3367

题目描述

现在有一个并查集，你需要完成合并和查询操作。

输入格式

第一行包含两个整数(N)、(M)，表示共有(N)个元素和(M)个操作。
接下来(M)行，每行包含三个整数(Z_i)、(X_i)、(Y_i)
当(Z_i=1)时，将(X_i)与(Y_i)所在的集合合并
当(Z_i=2)时，输出(X_i)与(Y_i)是否在同一集合内，是的话输出(Y)；否则话输出(N)

输出格式

如上，对于每一个(Z_i=2)的操作，都有一行输出，每行包含一个大写字母，为(Y)或者(N)

输入输出样例

输入

4 7
2 1 2
1 1 2
2 1 2
1 3 4
2 1 4
1 2 3
2 1 4

输出

N
Y
N
Y

数据规模

对于(30\%)的数据，(Nleq 10)，(Mleq 20)；
对于(70\%)的数据，(Nleq 100)，(Mleq 1000)；
对于(100\%)的数据，(Nleq 10000)，(Mleq 200000)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 50005
using namespace std;
//get together jihe
int fa[N];
int n; 
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}
int find(int x){
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void uni(int x,int y){
	fa[find(x)]=find(y);
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
//init();
	while(m--){
		int a=0,b=0,c=0;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		if(a==1){
			fa[find(b)]=find(c);
		}
		else if(a==2){
			if(find(b)==find(c)){
				printf("Y
");
			}
			else{
				printf("N
");
			}
		}
	}
	return 0;
}

2.1 Kruskal

//Kraskul
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 5005
#define M 200005
using namespace std;
int cnt=0,head[M],fa[M];//fa维护点的连通性 
struct node{
	int to,next,val;
}edge[M];
int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
bool cmp(node x,node y){
	return x.val<y.val;
}
void add(int x,int y,int val1){
	edge[++cnt].next=head[x];
	edge[cnt].to=y;
	edge[cnt].val=val1;
	head[x]=cnt;
}
int tgn,tgto,ans;
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&edge[i].next,&edge[i].to,&edge[i].val);
	}
	//kruskal
	sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		tgn=find(edge[i].next);
		tgto=find(edge[i].to);
		if(tgn==tgto){
			continue;
		}
		//若已经联通，则不需要这一条边
		ans+=edge[i].val;
		 //边权记录答案
		fa[tgto]=tgn; //联通tgto和tgn 
		if(++cnt==n-1){
			break;
		}
		//边为点数减一时停止 
	}
	if(ans!=0) printf("%d",ans);
	else printf("orz");
	return 0;
}
/* 
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
	int to1=edge[i].to;
	//do something
}
*/

2.2 Prim

复杂度(O(V^2))，适用于稠密图
prim详解

3 最短路

3.1 单源最短路径

（弱化版）

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define N  20005
#define edge e
using namespace std;
struct node{
	int to,next,val;
}e[1000001];
int head[N],num;
void add(int x,int y,int val1){
	e[++num].next=head[x];
	e[num].to=y;
	e[num].val=val1;
	head[x]=num;
}
bool vis[20005]={0};
long long dis[20005];
int n,m,s;
int a,b,c;
#define K 2147483647
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=K;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(a,b,c);
	}
	int curr=s;
	dis[s]=0;
	long long minn;
	while(!vis[curr]){
		vis[curr]=1;
		for(int i=head[curr];i!=0;i=edge[i].next){
			if(!vis[edge[i].to]&&dis[edge[i].to]>dis[curr]+edge[i].val){
				dis[edge[i].to]=dis[curr]+edge[i].val;//更新每个点 
			}
		}
		minn=K;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!vis[i]&&minn>dis[i]){
				minn=dis[i];
				curr=i;
			}
		}

	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",dis[i]);
	return 0;
}