20200920 day15 模拟（三）

1

一个不成熟的想法

[E=dfrac{ sumlimits_{xin B} xsumlimits_{i=2}^nleft(dfrac{i-1}{i} ight)} {n} ]

预处理(sumlimits_{xin B}x)，分数模拟。（会炸！哭了....但是我觉得具有正确性）

考察集合(A={0},B={x_1,x_2,...,x_n})

先模拟(n=3)

则：

第一种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_1}{2}+dfrac{x_1+x_3}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第二种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_1}{2}+dfrac{x_1+x_2}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第三种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_2}{2}+dfrac{x_2+x_3}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第四种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_2}{2}+dfrac{x_1+x_2}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第五种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_3}{2}+dfrac{x_3+x_2}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第六种情况：$ ext{ans}=dfrac{x_3}{2}+dfrac{x_1+x_3}{3}+dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

总：( ext{ans} _ 6=2 imes dfrac{x_1+x_2+x_3}{2}+4 imes dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}+6 imes dfrac{x_1+x_2+x_3}{4})

推算过程如下：

[ ext{ANS}=left[ left( dfrac{x_1+...+x_n}{2} ight) imes dfrac{n!}{n}+left( dfrac{x_1+...+x_n}{3} ight) imes dfrac{2n!}{n}+... ight] imes dfrac{1}{n!} ]

经化简整理可得前述答案

2

考虑最优操作到底是什么样的

假设只有两个发生器，那么如果放弃第一个选用第二个，第二个发生器产生的数的期望是(Y=dfrac{L_2+R_2}{2})。不难想到如果第一个发生器产生了(X)，(X<Y)时放弃(X)更优，否则拿走(X)更优。

更一般的，假设当前在使用第(i)个发生器，其产生了(X)，设其从第(i+1)个发生器开始游戏得到的最优答案是(f_{i+1})，那么比较(X,f_{i+1})的大小关系就可以确定是否拿走(X)，那么(f_i)的计算就是一个一次函数的积分，进行加权平均数（是人话吗是人话吗）。

复杂度(O(n))。