题意
给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，第 \(i\) 条边 \((u_i,v_i)\) 的权值为 \(t_i\)，保证 \(1\) 到每个点的最短路唯一。
对于每个点 \(x\)，求出从 \(1\) 出发，在不走 \(1\) 到 \(x\) 的最短路上最后一条边的情况下，\(1\) 到 \(x\) 的最短路径。
\(1 \leq n \leq 10^5, 1\leq m \leq 2 \times 10^5, 1 \leq t \leq 1000\)
题解
因为最短路唯一，所以可以建出最短路径树。
考虑一条非树边 \((u,v)\)，加上它之后会形成环，其最多只可能能对环上，即路径 \(u \to \operatorname{lca}(u,v) \to v\) 上（不包含 \(\operatorname{lca}(u,v)\)）所有点造成贡献。
令 \(d_i\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 的最短路。如果边 \((u,v)\) 的权值为 \(w\) 且该边能对 \(x\) 造成贡献，那么通过边 \((u,v)\)，\(1\) 到达 \(x\) 的最短路径为 \(d_u+d_v-d_x+w\)。注意到对于 \(d_x\) 只和 \(x\) 有关，\(d_u+d_v+w\) 只与边 \((u,v)\) 有关。
接下来有两个做法：
-
做法一
观察到，对于每条边，其能够造成贡献的点是两条链，树链剖分 + 线段树区间覆盖单点查询最小值。
时间复杂度 \(O(m \log^2n)\)。
-
做法二
对于所有边 \((u,v)\)，按照 \(d_u+d_v+w\) 对这些边进行排序，暴力更新。
因为排了序，所以每个点只会被更新一次（后面的多次更新没有用）。更新完之后用并查集把这些点缩成一个，避免下一次修改。
时间复杂度 \(O(m \log n+n)\)。
# include <bits/stdc++.h> const int N=200010,INF=0x3f3f3f3f; struct Edge{ int to,next,v; }edge[N<<1]; struct Node{ int id,w; bool operator < (const Node &rhs) const{ return w>rhs.w; } }; std::priority_queue <Node> q; struct AnoEdge{ int u,v,w; bool operator < (const AnoEdge &rhs) const{ return w<rhs.w; } }anoedge[N]; int anosum; int head[N],sum; int dis[N]; bool c[N],vis[N]; int n,m; int ans[N]; int pre[N],eid[N],f[N],depth[N]; int eu[N],ev[N],ew[N]; inline int read(void){ int res,f=1; char c; while((c=getchar())<'0'||c>'9') if(c=='-')f=-1; res=c-48; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=res*10+c-48; return res*f; } inline void add(int x,int y,int v){ edge[++sum].to=y,edge[sum].next=head[x],edge[sum].v=v,head[x]=sum; return; } inline void Dijkstra(void){ memset(dis,INF,sizeof(dis)); dis[1]=0,q.push((Node){1,0}); while(!q.empty()){ int i=q.top().id; q.pop(); if(c[i]) continue; c[i]=true; for(int j=head[i];j;j=edge[j].next){ int to=edge[j].to; if(dis[to]>dis[i]+edge[j].v){ dis[to]=dis[i]+edge[j].v,pre[to]=i,eid[to]=j,q.push((Node){to,dis[to]}); } } } return; } inline int find(int x){ return (f[x]==x)?x:(f[x]=find(f[x])); } void dfs(int i){ depth[i]=depth[pre[i]]+1; for(int j=head[i];j;j=edge[j].next){ int to=edge[j].to; if(to!=pre[i]&&pre[to]==i) dfs(to); } return; } int main(void){ n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=m;++i){ eu[i]=read(),ev[i]=read(),ew[i]=read(); add(eu[i],ev[i],ew[i]),add(ev[i],eu[i],ew[i]); } Dijkstra(); for(int i=1;i<=n;++i){ vis[(eid[i]-1)/2+1]=true,f[i]=i,ans[i]=-1; } for(int i=1;i<=m;++i){ if(!vis[i]){ anoedge[++anosum].u=eu[i],anoedge[anosum].v=ev[i],anoedge[anosum].w=dis[eu[i]]+dis[ev[i]]+ew[i]; } } std::sort(anoedge+1,anoedge+1+anosum); dfs(1); for(int i=1;i<=anosum;++i){ int u=anoedge[i].u,v=anoedge[i].v; u=find(u),v=find(v); while(u!=v){ if(depth[u]<depth[v]) std::swap(u,v); ans[u]=anoedge[i].w-dis[u]; f[u]=find(pre[u]),/*u 被更新了，更新 f[u], 下次路过的时候直接更新它的祖先*/u=f[u]; } } for(int i=2;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]); return 0; }