复平面与欧拉公式

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作者：   我是8位的

     

     欧拉公式被誉为“宇宙第一公式”，是大名鼎鼎的莱昂哈德·欧拉提出的。这位老大哥提出了很多著名的公式和定理，我们在RSA原理中遇到的欧拉函数就是他提出来的，还有图论中那个著名的七桥问题，也是欧拉提出的。

                                                                                                   

　　                                               1748年，欧拉在洛桑出版的《Introduction》中第一次出现了一个等式：

                                                                         

　　这就欧拉恒等式。等式的奇妙之处在于，它将数学中最重要的几个常数联系在一起：两个无理数，自然对数e和圆周率π；两个最简单的常数，1和0；还有单位虚数 i。    欧拉到底是基于什么样的脑回路写下了这个等式？

                                                                          

欧拉公式

　　                                               预理解欧拉恒等式，必先理解欧拉公式。欧拉公式的形式很简单：

                                                             

欧拉公式的由来

　　        我们总说站在巨人的肩膀上，其实巨人也是站在另一个巨人的肩膀上，欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的，把e^x在x₀=0点展开：

                                                                                  

　　                                         貌似得到了两个更复杂的无穷级数，其实这两个大家伙正是余弦和正弦的泰勒展开式。根据泰勒公式：

                                                                                  

　                         　现在e^iθ可以变得简单了：

                                                                             

　　                  当θ=π时得到欧拉恒等式：

                                                                         

欧拉公式的几何意义

　　相关阅读：复数和复平面

　　上一章介绍了极坐标下的复平面，把e^iθ映射到极坐标，正好是模长r=1的向量：

　　这相当于把(1, 0)沿着原点逆时针旋转了θ，因此e^iθ在极坐标下可以看作点绕着圆心在原点，半径是1的圆做圆周运动。

　　欧拉公式描述的是点在复平面上的圆周运动，把 θ 看作时间，并用 t 代替 θ ，随着时间的改变，这个点在时间轴上变成了一条螺旋线：

                                                                                      

　　我们用Octave画出这个螺旋线：

t = 0 : 0.02 : 10 * pi; % 在0到10π之间取10π/0.02个时间变量
r = 1; % 半径
x = r * cos(t);
y = r * sin(t);
plot3(x, y, t);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('t'); 

                                                                               

　　转动这个图形，可以看到欧拉函数在不同坐标系下的曲线。在复平面x-y上，欧拉公式形成了半径为1的单位圆：

                                                                               

　　在x-t平面上，欧拉公式形成了余弦曲线，是e^it=cost + isint的实数部分：

                                                                             

　　在y-t平面上，欧拉公式形成了正弦曲线，是e^it=cost + isint的虚数部分：

                                                                                 

　　可以看到，欧拉公式把正弦波和余弦波用指数形式统一起来。随着时间的推移，点在时间轴上形成了螺旋线，在实轴和虚轴上形成了余弦和正弦曲线。

                                                                            

　　欧拉函数的核心是旋转和频率，现代物理学又告诉我们，世界和微观世界都是旋转的，从这个意义上来说，欧拉函数还真是宇宙第一公式。