要求： Given a string S, find the longest palindromic substring in S. （从字符串 S 中最长回文子字符串。）
何为回文字符串？ A palindrome is a string which reads the same in both directions. For example, “aba” is a palindome, “abc” is not.
解决方法：参考：http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-ii.html
1.暴力法（Brute force solution）
共 C(N, 2) 个子串。时间复杂度O(N3)
2.后缀树法（Suffix tree solution）
反转 S 得到 S' ，例如：S = “caba”, S’ = “abac”. 求最长公共子串。求最大公共子串方法有后缀树或动态规划方法。
可参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_substring
注意陷阱：例如，S = “abacdfgdcaba”, S’ = “abacdgfdcaba”. 最长公共子串是 “abacd” ，明显不是回文串。
陷阱原因：S 中有它的非回文子串的反转出现。
克服方法：对于找到的公共子串，查找它在两个母串的全部下标是否都相等。
3.动态规划法（Dynamic programming solution）
时间复杂度 O(N2)， 空间复杂度 O(N2)。
定义数组：
则有，
dp[i][j] = d[i+1][j-1] && S[i] == S[j]
初始条件：
dp[i][i] = ture ， i = 1，……，s.length() -1.
dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ， i = 1，……，s.length()-2
代码：
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
/************** 动态规划 *************/
int n = s.length();
if(n == 0) return "";
bool dp[1000][1000] = {false};
int firstIndex = 0, maxLen = 1;
for(int r = 0; r <= n - 1; ++r) {
for(int index = 0; index <= n - 1 - r; ++index) {
if(s[index] == s[index + r]){
if(r < 2){
dp[index][index + r] = true;
firstIndex = index;
maxLen = r + 1;
}else if(dp[index + 1][index + r -1] == true){
dp[index][index + r] = true;
firstIndex = index;
maxLen = r + 1;
}
}
}
}
return s.substr(firstIndex, maxLen);
}
};
4.更简单的方法
O(N2)时间，O(1)空间
分析：回文串一定有一个中心，然后关于中心对称。长度为 N 的字符串有潜在的对称中心数目为 N + （N - 1） = 2N -1。
基于每个中心去找时间复杂度为 O(N)，共查找 2N-1 次。因此总的时间复杂度为 O(N(2N - 1)) ~ O(N2).
代码：
string expandAroundCenter(string s, int left, int right){
int n = s.length();
while(left >= 0 && right <= n - 1 && s[left] == s[right]){
--left;
++right;
}
return s.substr(left + 1, right - left - 1);
}
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
/************** O(n^2)time, O(1)space complexity *************/
int n = s.length();
if(n == 0) return "";
string longest = s.substr(0,1);
for(int index = 0; index < n; ++index){
string s1 = expandAroundCenter(s, index, index);
string s2 = expandAroundCenter(s, index, index + 1);
if(s1.length() > s2.length()){
if(s1.length() > longest.length()) longest = s1;
}else if(s2.length() > longest.length()) longest = s2;
}
return longest;
}
};
5.Manacher’s Algorithm
时间复杂度 O(N)，空间复杂度 O(4N)
算法思路：第一步：对于输入的长度为 N 的字符串 S，在字符间的 N+1 个位置分别插入一个特殊符号 "#"，得到新的字符串 T ，长度为 2N+1。
例如：S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”.
第二步：定义数组 P[2N+1]。分别以 T 中每个字符为回文串的中心，查找它的半径的值，结果存放在 P 中。(注意：数组 P 中最大数等于 S 中最大回文子串的长度)
例如：
(则 S 的最大回文子串长度为 6)。
（注意：P 中数字关于中心对称）
接下来，主要就是对第二步的分析和优化。
以下面比较复杂的字符串为例：（可以看英文解释，也可以看我的叙述）
变量解释：L 和 R 分别为以 C 为中心的回文串的左右边界，其中 L + R = 2*C。分析两种情况：
index13 关于 C 对称点为 index(2*c-13) ，即 index9 ，因为 P[9] = 1，而且 P[9] < R-12(小于左边界) ，所以 P[13] = P[9] = 1;
……
index15 关于 C 对称点为 index(2*c-15) ，即 index7 ，因为 P[7] = 7，而且 P[7] >= R-15(大于左边界) ，所以 ：
首先令P[15] = P[7] = 7，然后令 C = 15，以 index15 为中心，以 T[15-P[15]-1] 和 T[15+P[15]+1] 开始比较，向两段延伸，找新的 L 和 R.
最后得到 P[15] = 13 ，L = 2，R = 8。
……
代码：（为了方便边界，两边加了的特殊符号）
string preprocess(string s){
int n = s.length();
if(n == 0) return "";
string newS = "^#";
for(int i = 0; i < n; ++i)
newS += "#" + s.substr(i,1);
newS += "#$";
return newS;
}
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
/************** O(n)time, O(4n)space complexity *************/
string T = preprocess(s);
int n = T.length();
if(n == 0) return "";
int *p = new int[n];
int C = 0, R = 0;
int maxLen = 1, firstIndex = 0;
for(int i = 1; i < n-2; ++i){
int i_mirror = 2 * C - i;
p[i] = (R > i) ? min(R - i, p[i_mirror]) : 0;
while(T[i + p[i] + 1] == T[i - p[i] - 1]) {
++p[i];
if(p[i] > maxLen){
maxLen = p[i];
firstIndex = (i - 1 - p[i]) / 2;
}
}
if(i + p[i] > R){
C = i;
R = i + p[i];
}
}
return s.substr(firstIndex, maxLen);
}
};