分组背包，每组最多选1个

1326: The contest

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Description

殷犇有很多队员。他们都认为自己是最强的，于是，一场比赛开始了~

于是安叔主办了一场比赛，比赛有n个题目，每个题目都有一个价值Pi和相对能力消耗Wi，但是有些题目因为太坑不能同时做出来，并且坑题具有传递性。（a和b一起做会坑、b和c会坑则a和c也会坑） ACM队员们想知道，于是他们想知道在能力范围内，它们最多可以作出多少价值的题目。

聪明的你，告诉我，能帮帮他们吗？

Input

第1行两个整数,n,Wmax,k(0<=n,Wmax,k<=1000),其中n为题目总数,Wmax为初始的总能力数.

接下来n行，为每个题目的Pi,Wi(0<=Pi<=1000,1<=Wi<=10,均为整数)

再接下来k行，每行2个数字a,b表示a和b会坑

Output

对每组数据输出1行为最大可能价值

Sample Input

3 10 1 100 1 200 5 10 5 1 2

Sample Output

210

HINT

每个测试点1s

CSU_WJQ

Source

CSU Monthly 2013 Oct.

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <queue>
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int size=1008 ;
int father[size] ;
vector<int>vec[size] ;
int N ;
void init(){
    for(int i=1;i<=N;i++){
         father[i]=i ;
         vec[i].clear() ;
    }
}
int find_father(int x){
    if(x==father[x])
         return x ;
    else
         return father[x]=find_father(father[x]) ;
}
int Union(int x ,int  y){
    int f_x=find_father(x) ;
    int f_y=find_father(y)  ;
    if(f_x!=f_y)
         father[f_x]=f_y ;
}
int Mmax ,K ;
struct Bag{
    int V ;
    int money ;
}bag[size];
int dp[size] ;
int gao(){
    init() ;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d%d",&bag[i].money,&bag[i].V) ;
    int u ,v ;
    while(K--){
        scanf("%d%d",&u,&v) ;
        Union(u,v) ;
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
        vec[find_father(i)].push_back(i) ;
    memset(dp,0,sizeof(dp)) ;

    for(int k=1;k<=N;k++){
        for(int j=Mmax;j>=0;j--){
               //j i 顺序不能换，保持每组最多取一个 
               for(int i=0;i<vec[k].size();i++){
                     int now=vec[k][i] ;
                     if(j-bag[now].V>=0)
                        dp[j]=Max(dp[j],dp[j-bag[now].V]+bag[now].money) ;
               }
        }
    }

    return dp[Mmax] ;
}
int main(){
    while(scanf("%d%d%d",&N,&Mmax,&K)!=EOF){
         cout<<gao()<<endl ;
    }
    return 0 ;
}

分组的背包问题

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k

for v=V..0

for 所有的i属于组k

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。

另外，显然可以对每组内的物品应用中“一个简单有效的优化”。

小结

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。