1、题目描述
每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数….这样下去….直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
2、代码1：构建链表环
2.1：构建链表环，然后直接模拟整个数数的过程，最后剩下的一个就是需要求的。需要注意几点：
（1）链表环，不一定要形成环，也可以用一般的数组之类的代替，只需要每次数到最后了调到第一个数就行。
（2）每次出列一个人后，当前的0号是出列的人的下一个人，这是是注意的。下一次排序和数数必须从新的0号开始。
（3）Java实现的话，可以使用LinkedList，考虑删除节点的效率。
2.2 代码：
import java.util.*;
public class Solution {
public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();
for(int i=0;i<n;i++)
list.add(i);
int a = 0;
while(list.size() > 1)
{
a = (a+m-1) % list.size();
list.remove(a);//每次删除，直到留下最后的那一个！
}
if(list.size() == 1)
return list.get(0);//数组只剩下最后的一个
return -1;
}
}
2、代码2：寻找数学规律
2.1 原理：开始是有N个孩子，从0开始数到M-1，出列一个孩子；出列一个孩子之后，剩余了N-1个孩子，重新排序下标，那么剩余的问题就变成：N-1个孩子，从0开始数到M-1，出列一个孩子；但是需要注意的：出了一个孩子之后，要重新排序下标，第一个出列的孩子的下一个孩子成了新问题的0号，这中间存在一个每个孩子新旧下标的关系；
核心点：对于整个问题，只要孩子的第一次的顺序定了，无论每次出列一个孩子后，剩余孩子的顺序怎么变，最后剩的那个孩子一定是固定的，只不过这个孩子的序号在每次出列一个孩子后实时在变化；当N0=1的时候，那么这个时候，这个新问题中，剩余的这个孩子的序号一定是0。因为每次出列孩子的时候，剩余孩子的下标变化是有规律的，那么可以推理出当N0=2,3,4….N的时候，这个孩子的下标。所以这就是一个递归反推的问题。
2.2 推理：可以知道最后剩余的一个孩子，也就是N0=1时，这个孩子一定新序号的0号（这个新序列是每次出列一个孩子后重新排序的，这里是N=2情况下孩子出列后，重新排序后的顺序），那么根据每次出列一个孩子后新序号和孩子未出列的原序列之间的序号关系，可以推荐最后剩余孩子在N0=2问题所用序列中的序号，根据N0=2的时候的序号，可以推理出N=3问题所用序列中这个孩子的序号，一直到N0=N问题所用序列中这个孩子的序号就是最后求的结果。（因为只要孩子的初始顺序定了，无论每次出列了孩子序号怎么变，最后留下来的孩子一定是定的）
2.3 数学推理：
如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨 论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新 的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情 况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n。
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。 因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。
2.4 代码：
public class Solution
{
public int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if(n==0||m==0)return -1;
int s=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
s=(s+m)%i;
}
return s ;
}
}