二分图的匹配（未完） yongmou

　　二分图是一种特殊类型的图，图中的顶点集被划分成X与Y两个子集，图中每条边的两个端点，一定是一个属于X另一个属于Y。二分图的匹配是求边的一个子集，该子集中的任意两条边都没有公共的端点。含边数最多的匹配即为二分图的最大匹配；如果给二分图的边加权，则边权和最大的匹配即为最佳匹配。

　　如果可以以某种方式将研究的对象分成两个互补的集合，而需要求得他们之间满足某种条件的“一一对应”关系时，往往可以抽象出对象以及对象之间的关系，构造二分图，然后利用匹配算法来解决。构造二分图模型，设计匹配算法，并对其算法进行适当的优化。

　　另外二分图的覆盖数=匹配数，所以求最小覆盖，可以转化为求最大匹配。其证明比较繁琐，组合数学的书上有。

1. 采用网络流的方法计算二分图的最大匹配

　　将二分图该做成一个网络：增加一个源点s、一个汇点t，由s到X集合中每点增加一条边，由Y中每点到t增加一条边。

　　复杂度分析：找到一条增广路径的时间约为O(n*e)，最多n次寻找，时间复杂度为O(e*n^2)

2.计算二分图最大匹配的匈牙利算法

　　匈牙利算法是通过构造一颗交错树来计算二分图的最大匹配的。不断的加入增广路径。

　　代码：

#define MAXV 200

int N, M;    //X和Y顶点数分别为N、M
bool mt[MAXV][MAXV];//二分图, 邻接矩阵

bool used[MAXV]; //Y集合中的点是否使用
int link[MAXV];  //匹配边集，其中顶点y所匹配的边为(link[y], y)

bool check(int x){//判断是否存在由x出发的增广路径
    for(int y=1; y<=M; ++y){
        if(!used[y] && mt[x][y]){
            used[y] = true;
            if(link[y] == -1 || check(link[y])){
                link[y] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int max_match(){
    int x, y, max;;
    for(y=1; y<=M; ++y)
        link[y] = -1;
    max = 0;
    for(x=1; x<=N; ++x){
        for(y = 1; y<=M; ++y)
            used[y] = false;
        if(check(x))
            ++max;
    }
    return max;
}

3.计算二分图最佳匹配的KM算法

（还没看懂，看懂了，再往上写）