【Stanford Machine Learning Open Course】7. 分类问题 & logistic回归方法

这里是斯坦福大学机器学习网络课程的学习笔记。课程地址是：https://class.coursera.org/ml-2012-002/lecture/index

分类问题：比如性格分类问题、新闻话题分类问题等，需要预测出不同类别的问题。

　　一般设定二分类问题预测值为0或1，下面以二分类为主介绍，后续会将多分类问题。

logistic回归模型解分类问题：

　　我们已经了解了线性回归问题的预测函数是：h(a,X)= a^TX，分类问题的预测函数跟这个不同。

　　分类问题的一个预测函数是：h(a,X)= g( a^TX )，且是y=1当h(a,X)>=0.5;  y=0当h(a,X)<0.5，

　　　　其中g(z)=1/(1+e^-z)，满足 0< g(z) <1 ，g(z)被称作sigmoid函数或者logistic函数，

           基于logistic函数解分类问题的模型称作logistic回归模型。

　　　　logistic（sigmoid) 函数图形如下：

           注：线性回归问题因为是预测出连续值，且对值取值范围没有限定，所以a^TX是满足的，但对分类问题不合适。

　　从sigmoid函数图形可知，当z>=0时，g(z)>=0.5，即y=1，而当z<0时，g(z)<0.5, 即y=0. 

　　z=0, 称为Decusion Boundary，是分类问题的分界线。 z=0 等价于 a^TX=0，所以求解出a，即可预测分类问题。

      但a并不总是可求的，所以还是要引入基于最小成本函数的数值解法。

梯度下降法求解logistic回归模型：

　　成本函数定义为：cost(h_a(x),y) = -log( h_a(x) ), 若y=1

                                          = -log( 1- h_a(x)), 若y=0

                     或者直接写为 cost(h_a(x),y) = -y*log( h_a(x) ) - (1-y)*log( 1- h_a(x))

　　梯度下降法：

　　　　J=1/m*(-y'*log(sigmoid(X*a))-(1-y)'*log(1-sigmoid(X*a)));
　　　　grad=1/m*((sigmoid(X*a)-y)'*X)';