中国剩余定理

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

——《孙子算经》

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它可以做什么？

中国剩余定理可以用于解决形如以下形式的线性同余方程组

[(X)left{egin{matrix}x_1equiv b_1pmod{m_1}\x_2equiv b_2pmod{m_2}\ldots\x_nequiv b_npmod{m_n}end{matrix} ight. ]

其中(m_1,m_2,m_3,ldots,m_n)两两互质

它是怎么做的？

中国剩余定理利用构造法给出了一组解，构造方法如下：

设(M=prod_{i=1}^nm_i)，并设(M_i=M/m_i)，即(M_i=prod_{j=1,j eq i}^nm_j)
设(t_i=M_i^{-1})为(M_i)模(m_i)意义下的逆元，那么同余方程组((X))的通解可以表示为以下形式：

[x=sum_{i=1}^nb_iM_it_i+kM,Minmathbb{Z} ]

在模(M)意义下，方程组的解为：

[x=(sum_{i=1}^nb_iM_it_i)pmod{M} ]

为什么是正确的？

证明如下:

由于(m_1,m_2,m_3,ldots,m_n)两两互质，因此有(gcd(M_i,m_i)=1)，所以存在(t_i)满足(M_it_i=1pmod{m_i})

于是有：(b_iM_it_iequiv b_i*1equiv b_ipmod {m_i})

且对于(forall jin{1,2,3,ldots,n},j eq i)，有(b_iM_it_iequiv0pmod{m_j})

那么对于(forall iin{1,2,3,ldots,n})，(x=sum_{i=1}^nb_iM_it_i)满足：

[xequiv b_iM_it_i+sum_{j=1,j eq i}^nb_jM_jt_jpmod{m_i}equiv b_i*1+sum_{j=1,j eq i}^n0pmod{m_i}equiv b_ipmod{m_i} ]

由此可以证明(x)是同余方程组((X))的一个解

另外，若(x_1,x_2)都是方程组((X))的解，那么

对于(forall iin{1,2,3,ldots,n},x_1-x_2equiv0pmod{m_i})

而(m_1,m_2,m_3,ldots,m_n)两两互质，所以(M|(x_1-x_2))，这说明方程组((X))的任意两个解之间相差(kM,kinmathbb{Z})

那么方程组的所有整数解的形式即为：

[x=sum_{i=1}^nb_iM_it_i+kM,kinmathbb{Z} ]

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define maxn 105
using namespace std;

int n;
int b[maxn],m[maxn],lcm=1,M[maxn],t[maxn];

int exgcd(int a,int p,int &x,int &y)
{
	if(!p)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int xx,yy,k;
	k=exgcd(p,a%p,xx,yy);
	x=yy;
	y=xx-a/p*yy;
	return k;
}

int main()
{
	int ans=0;
	scanf("%d",&n);
	register int i;
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d%d",&b[i],&m[i]);
		lcm*=m[i];
	}
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		int x,y;
		M[i]=lcm/m[i];
		exgcd(M[i],m[i],x,y);
		ans=(ans+b[i]*M[i]*x)%lcm;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

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例题

UVA756 Biorhythms

Description

输入包含若干个测试点，以四个 (-1) 结束。

每一个测试点输入四个整数 (p), (e), (i) 和 (d)。求最小的 (x)，使得 (x>d) 并且

[left{egin{matrix}xequiv ppmod{23}\xequiv epmod{28}\xequiv ipmod{33}end{matrix} ight. ]

输出(x-d)的值

输出请按照如下格式：

Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.

Solution

中国剩余定理裸题，直接套用即可

Code

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;

int b[4],m[4]={0,23,28,33},M[4]={0,924,759,644},t[4];
int lcm=21252;//23*28*33

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

void Pre()
{
	int y;
	for(int i=1;i<=3;++i)
	{
		exgcd(M[i],m[i],t[i],y);
		t[i]=(t[i]+m[i])%m[i];
	}
}

int main()
{
	Pre();
	int cas=0,d;
	while(1)
	{
		for(int i=1;i<=3;++i)
			scanf("%d",&b[i]);
		scanf("%d",&d);
		if(b[1]==-1)
			break;
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=3;++i)
			ans=(ans+b[i]*M[i]*t[i]%lcm)%lcm;
		ans=(ans-d+lcm)%lcm;
		if(ans==0)
			ans=lcm;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.
",++cas,ans);
	}
	return 0;
}

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部分内容来源：
孙子定理_百度百科
《信息学奥赛之数学一本通》林厚从 著