「Luogu2221」[HAOI2012]高速公路

「Luogu2221」[HAOI2012]高速公路

problem

题目描述

(Y901)高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。

(Y901)高速公路是一条由(N-1)段路以及(N)个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为(1)~(N)，从收费站(i)行驶到(i+1)(或从(i+1)行驶到(i))需要收取(V_i)的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。

政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。

无聊的小(A)同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的(l,r(l<r)),在第(l)个到第(r)个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站(a)和(b)，那么从(a)行驶到(b)将期望花费多少费用呢?

输入输出格式

输入格式：

第一行(2)个正整数(N,M)，表示有(N)个收费站，(M)次调整或询问

接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种

C l r v
表示将第(l)个收费站到第(r)个收费站之间的所有道路的通行费全部增加(v)

Q l r
表示对于给定的(l,r)，要求回答小(A)的问题

所有(C)与(Q)操作中保证(1le l < rle N)

输出格式：

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数

若答案为整数(a)，输出a/1

输入输出样例

输入样例#1：

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

输出样例#1：

1/1
8/3
17/6

说明

所有(C)操作中的(v)的绝对值不超过(10000)

在任何时刻任意道路的费用均为不超过(10000)的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M
1    =10       =10
2    =100      =100
3    =1000     =1000
4    =10000    =10000
5    =50000    =50000
6    =60000    =60000
7    =70000    =70000
8    =80000    =80000
9    =90000    =90000
10   =100000   =100000

---

Solution

首先非常感谢@GoldenPotato先辈和我一起颓柿子

讲真

这个题除了最终计算答案稍微要用一下期望

跟期望基本没有关系（绝望）

---

首先，对于每次询问，在区间([l,r])中，任选两个点显然有(C_{r-l+1}^{2})种选法，每种选法的概率都是(frac{1}{C_{r-l+1}^{2}})

令所有选法的长度之和为(sum)，那么答案即为

[frac{sum}{C_{r-l+1}^{2}} ]

好了上面就是跟期望有关的部分，现在来看(sum)如何维护

令(v_i)表示收费站(i,i+1)之间的的收费

画图可知，对于每次询问(l,r)，考虑每一段的贡献，有(sum=sum_{i=1}^{r-l}i*(r-l-i+1)*v_{l+i-1})

以(l=2,r=6)为例，那么(sum)即为(1*4*v_2+2*3*v_3+3*2*v_4+4*1*v_5)

显然这玩意很难维护，我们来颓柿子

[sum_{i=1}^{r-l}i*(r-l-i+1)*v_{l+i-1} ]

[=(r-l+1)sum_{i=1}^{r-l}i*v_{l+i-1}-sum_{i=1}^{r-l}i^2*v_{l+i-1} ]

然而柿子中的各项依然比较难维护，因为每次(l)都是不同的，我们来继续变形

[sum_{i=1}^{r-l}i*v_{l+i-1}=sum_{i=1}^{r-l}(l+i-1)*v_{l+i-1}-(l-1)sum_{i=1}^{r-l}v_{l+i-1} ]

这样我们只需要维护(i*v_i)和(v_i)的区间和即可求出(sum_{i=1}^{r-l}i*v_{l+i-1})

这不禁令我们想到我们是否可以通过维护(i^2*v_i)的区间和来处理剩下的一项

首先经过变形可得((l+i-1)^2=(l-1)^2+(2l-2)i+i^2)

于是有

[sum_{i=1}^{r-l}i^2*v_{l+i-1}=sum_{i=1}^{r-l}(l+i-1)^2*v_{l+i-1}-(l-1)^2sum_{i=1}^{r-l}v_{l+i-1}-(2l-2)sum_{i=1}^{r-l}i*v_{l+i-1} ]

这样我们就又可以通过维护(i^2*v_i)的区间和求出(sum_{i=1}^{r-l}i^2*v_{l+i-1})推死我了我去

区间修改及区间求和显然可以通过线段树来维护

然而这几个量维护起来也挺恶心的

所以这个题其实是披着期望的外皮，实际上是颓柿子和数据结构的题

实际实现中要注意分清楚点和边的编号

Code

非常丑，慎看

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define maxn 100005
#define maxm 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

template <typename T> void read(T &t)
{
	t=0;ull f=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){f|=c=='-';c=getchar();}
	while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}
	if(f)t=-t;
}

ull n,m;

ull gcd(ull a,ull b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

inline ull IS(ull l,ull r)//{n}数列区间求和
{
	--l;
	return (r*(r+1)/2)-(l*(l+1)/2);
}

inline ull QS(ull l,ull r)//{n^2}数列区间求和
{
	--l;
	return (r*(r+1)*(2*r+1)/6)-(l*(l+1)*(2*l+1)/6);
}

#define lson (num<<1)
#define rson ((num<<1)|1)
struct sgt
{
	struct node
	{
		ull l,r;
		ull nons,is,qs,lazy;//vi,i*vi,i^2*vi
	}t[maxn<<2];
	void Build(ull l,ull r,ull num=1)
	{
		t[num].l=l;
		t[num].r=r;
		if(l==r)return;
		ull mid=(l+r)>>1;
		Build(l,mid,lson);
		Build(mid+1,r,rson);
	}
	void maintain(ull num)
	{
		t[num].nons=t[lson].nons+t[rson].nons;
		t[num].is=t[lson].is+t[rson].is;
		t[num].qs=t[lson].qs+t[rson].qs;
	}
	void pushdown(ull num)
	{
		ull llen=t[lson].r-t[lson].l+1,rlen=t[rson].r-t[rson].l+1;
		t[lson].lazy+=t[num].lazy,t[rson].lazy+=t[num].lazy;
		t[lson].nons+=llen*t[num].lazy;
		t[rson].nons+=rlen*t[num].lazy;
		t[lson].is+=t[num].lazy*IS(t[lson].l,t[lson].r);
		t[rson].is+=t[num].lazy*IS(t[rson].l,t[rson].r);
		t[lson].qs+=t[num].lazy*QS(t[lson].l,t[lson].r);
		t[rson].qs+=t[num].lazy*QS(t[rson].l,t[rson].r);
		t[num].lazy=0;
	}
	void ADD(ull l,ull r,ull x,ull num=1)
	{
		if(t[num].l>r || t[num].r<l)return;
		if(l<=t[num].l && r>=t[num].r)
		{
			t[num].lazy+=x;
			ull len=t[num].r-t[num].l+1;
			t[num].nons+=len*x;
			t[num].is+=IS(t[num].l,t[num].r)*x;
			t[num].qs+=QS(t[num].l,t[num].r)*x;//更新答案部分，至于为什么是这样可以自己推一下
			return;
		}
		pushdown(num);
		ADD(l,r,x,lson),ADD(l,r,x,rson);
		maintain(num);
	}
	ull nonsQuery(ull l,ull r,ull num=1)
	{
		if(t[num].l>r || t[num].r<l)return 0;
		if(l<=t[num].l && r>=t[num].r)
			return t[num].nons;
		pushdown(num);
		return nonsQuery(l,r,lson)+nonsQuery(l,r,rson);
	}
	ull isQuery(ull l,ull r,ull num=1)
	{
		if(t[num].l>r || t[num].r<l)return 0;
		if(l<=t[num].l && r>=t[num].r)
			return t[num].is;
		pushdown(num);
		return isQuery(l,r,lson)+isQuery(l,r,rson);
	}
	ull qsQuery(ull l,ull r,ull num=1)
	{
		if(t[num].l>r || t[num].r<l)return 0;
		if(l<=t[num].l && r>=t[num].r)
			return t[num].qs;
		pushdown(num);
		return qsQuery(l,r,lson)+qsQuery(l,r,rson);
	}
}t;

int main()
{
	read(n),read(m);
	t.Build(1,n-1);
	while(m--)
	{
		char op=getchar();
		while(op!='C' && op!='Q')op=getchar();
		if(op=='C')
		{
			ull l,r;ull x;
			read(l),read(r),read(x);
			t.ADD(l,r-1,x);
		}
		else
		{
			ull l,r;
			read(l),read(r);
			ull a=t.isQuery(l,r-1)-(l-1)*t.nonsQuery(l,r-1);
			ull b=t.qsQuery(l,r-1)-(l-1)*(l-1)*t.nonsQuery(l,r-1)-(2*l-2)*a;
			ull fz=a*(r-l+1)-b,fm=(r-l+1)*(r-l)/2,g=gcd(fz,fm);
			fz/=g,fm/=g;
			printf("%llu/%llu
",fz,fm);
		}
	}
	return 0;
}

一点思考

请忽略以下胡言乱语

我发现这样算的话用(longspace long)是会豹的（捂脸）

所以我干脆把所有变量都改成(unsignedspace longspace long)

至于为什么在负数存在的情况下是正确的

如果使用(ull)，实际上就是在模(2^{64}-1)的意义下做运算，而最终答案是在(ll)范围内的，并且为正整数

所以就阔以啦