数制（待补充）

内容：

1. 定点数
2. 浮点数
3. 浮点数特殊情况处理
4. 定点数转浮点数（待补充）
5. 参考文献

定点和浮点都表示有理数

1、定点数

定义

定点数与十进制数类似，有部分位表示整数部分，其余位表示小数部分，有一个位于整数和小数位之间隐含的二进制小数点。

下图为一个带小数的二进制表达式，在b)中隐含的小数点被表示出来，c)为十进制表达式。

符号

有符号的定点数可以用二进制补码或者带符号的源码表示，最高位用于表示符号。

定点数小数点：

定点数只是位的集合，若不给出数的解释（整数位和小数位的长度），则无法知道是否存在二进制小数点。

负数补码表示形式

二进制补码表示是将数的绝对值取反，然后在最低有效位上加1。

带符号的定点数计算

下面计算0.75+(-0.625)，由于存在负数-0.625，为使加法正确进行，需要将其转换为二进制补码的形式。由于计算结果超过了定点数的位宽，所以计算结果中最高位的1需要舍去。

2、浮点数

定义

浮点数与科学计数法类似，解决了定点数中整数和小数位长度固定的限制，允许表示非常大和非常小的书。

组成

浮点数由符号（sign）、尾数（mantissa，M），基数（base,B）和阶码（exponent，E）组成，如下图所示。其中二级制浮点数的基数为2.

隐含前导1（implicit leading one）：

在二进制浮点数中，尾数的MSB总是1，所以不需要在尾数中存储，被称为隐含前导1。

偏置（biased）阶码

阶码需要表示正数和负数阶码，为了做到这点，浮点数使用偏置阶码，就是在原始阶码加上常数偏置。32位浮点数使用的偏置是127。就是对于任意阶码，偏置阶码为：实际阶码+偏置。例如：实际阶码为7，则偏置阶码为7+127=134=10000110；对于阶码-4，偏置阶码为127+（-4）=123=01111011。下图为采用隐含前导1和偏置阶码的228浮点表示形式，符合IEEE 754浮点数标准。

偏置阶码理解：以单精度浮点数为例，阶码一共为8位，可以表示-127~127共256个数，但是阶码不使用最高位作为符号位，而是以最低位为-127，最高位为127实现正负数的区分。因此对于单精度浮点数的常数偏置为2^(8-1)-1=127，双精度常数偏置为2^(11-1)-1=1023。

单精度和双精度格式

32位浮点数成为单精度浮点数（singal-precision，single或float），IEEE 754标准还定义了64位双精度浮点（double-precision、double）。

浮点数舍入：

在有效精度外的算数结果数必须四舍五入到最近的值。舍入模式有：1) 向上舍；2) 向下舍；3) 向零舍；4) 向最近端舍（默认方式，如果两端距离相同，保留为小数部分最低有效位为0的数）。如果数值部分太大会产生上溢，舍为±∞；数值太小会产生下溢，舍为0。

浮点数加法：

1. 提取阶码和小数位；
2. 加上前导1，形成尾数；
3. 比较阶码；
4. 如果需要，对较小的尾数移位；
5. 尾数相加；
6. 规范化尾数，并在需要时调整阶码；
7. 舍入结果；
8. 把阶码和小数组成浮点数。

3、浮点数特殊情况

特殊值与阶码的关系：

　　32位浮点数的阶码域可以表达-127~128，其中-127（全0）和128（全1）用于保存为特殊值，-126~127表示常规指数范围。

IEEE浮点数标准用特殊方式表示0，±∞，非规范数和NaN结果，通常采用全0或者全1填充阶码解决特殊情况。

• 0：因为隐含前导1，所以在浮点数表示中数字0的表示需要特殊表示；
• 无穷大：上溢结果舍入为无穷，并非最大的浮点数（因为相差太大而毫无意义）；
• NaN：表示不存在的数；
• 非规范化数：当浮点数的指数允许为最小指数时，尾数不必是规范化的，指数域值为emin-1用于区分规范化和非规范化数；

下图为这三类结果的表示方法。

4、定点数转浮点数

参考文献：

《数字设计和计算机体系结构》

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f853eb10100smox.html